Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15956 / 15946
↖ ↑ ↗
← N 79.395031°
W136.175537°		 ← 56.20 m → N 79.395031°
W136.172791°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
N 79.394526°
W136.175537°		 ← 56.20 m →
3 158 m²		 N 79.394526°
W136.172791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121738433837891 y=0.121662139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121738433837891 × 217)
    floor (0.121738433837891 × 131072)
    floor (15956.5)     		tx = 15956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121662139892578 × 217)
    floor (0.121662139892578 × 131072)
    floor (15946.5)     		ty = 15946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15956 / 15946 ti = "17/15956/15946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15956/15946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15956 ÷ 217
    15956 ÷ 131072     		x = 0.121734619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15946 ÷ 217
    15946 ÷ 131072     		y = 0.121658325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.75653076171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.37671148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121658325195312 × 2 - 1) × π
    0.756683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37719085215858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37671148} λ = -2.37671148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37719085215858))-π/2
    2×atan(10.7745928869097)-π/2
    2×1.47825051370844-π/2
    2.95650102741687-1.57079632675     		φ = 1.38570470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37671148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.175537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38570470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.395031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15956 KachelY 15946 -2.37671148 1.38570470 -136.175537 79.395031
    Oben rechts KachelX + 1 15957 KachelY 15946 -2.37666355 1.38570470 -136.172791 79.395031
    Unten links KachelX 15956 KachelY + 1 15947 -2.37671148 1.38569588 -136.175537 79.394526
    Unten rechts KachelX + 1 15957 KachelY + 1 15947 -2.37666355 1.38569588 -136.172791 79.394526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38570470-1.38569588) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38570470-1.38569588) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37671148--2.37666355) × cos(1.38570470) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184036596053989 × 6371000     		do = 56.1977885653706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37671148--2.37666355) × cos(1.38569588) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184045265395869 × 6371000     		du = 56.2004358532057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38570470)-sin(1.38569588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184036596053989-0.184045265395869)×R²
    abs(-2.37666355--2.37671148)×8.66934187956914e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.66934187956914e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.66934187956914e-06×40589641000000     		ar = 3157.95287696649m²