Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15950 / 16526
↖ ↑ ↗
← N 79.097816°
W136.192016°		 ← 57.75 m → N 79.097816°
W136.189270°		 →
↑
57.78 m
↓
↑
57.78 m
↓
N 79.097296°
W136.192016°		 ← 57.76 m →
3 337 m²		 N 79.097296°
W136.189270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121692657470703 y=0.126087188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121692657470703 × 217)
    floor (0.121692657470703 × 131072)
    floor (15950.5)     		tx = 15950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126087188720703 × 217)
    floor (0.126087188720703 × 131072)
    floor (16526.5)     		ty = 16526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15950 / 16526 ti = "17/15950/16526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15950/16526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15950 ÷ 217
    15950 ÷ 131072     		x = 0.121688842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16526 ÷ 217
    16526 ÷ 131072     		y = 0.126083374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121688842773438 × 2 - 1) × π
    -0.756622314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.37699910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126083374023438 × 2 - 1) × π
    0.747833251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34938745037895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37699910} λ = -2.37699910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34938745037895))-π/2
    2×atan(10.4791487597468)-π/2
    2×1.47565682399557-π/2
    2.95131364799115-1.57079632675     		φ = 1.38051732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37699910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.192016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38051732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.097816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15950 KachelY 16526 -2.37699910 1.38051732 -136.192016 79.097816
    Oben rechts KachelX + 1 15951 KachelY 16526 -2.37695117 1.38051732 -136.189270 79.097816
    Unten links KachelX 15950 KachelY + 1 16527 -2.37699910 1.38050825 -136.192016 79.097296
    Unten rechts KachelX + 1 15951 KachelY + 1 16527 -2.37695117 1.38050825 -136.189270 79.097296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38051732-1.38050825) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dl = 57.7849699996458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38051732-1.38050825) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dr = 57.7849699996458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37699910--2.37695117) × cos(1.38051732) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18913287347632 × 6371000     		do = 57.7539981844976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37699910--2.37695117) × cos(1.38050825) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189141779768682 × 6371000     		du = 57.7567178280129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38051732)-sin(1.38050825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18913287347632-0.189141779768682)×R²
    abs(-2.37695117--2.37699910)×8.90629236144358e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.90629236144358e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.90629236144358e-06×40589641000000     		ar = 3337.39162979576m²