Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1595 / 1547
↖ ↑ ↗
← S 67.272043°
E100.371094°		 ← 7 551.71 m → S 67.272043°
E100.546875°		 →
↑
7 541.03 m
↓
↑
7 541.03 m
↓
S 67.339861°
E100.371094°		 ← 7 530.36 m →
56 867 207 m²		 S 67.339861°
E100.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779052734375 y=0.755615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779052734375 × 211)
    floor (0.779052734375 × 2048)
    floor (1595.5)     		tx = 1595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755615234375 × 211)
    floor (0.755615234375 × 2048)
    floor (1547.5)     		ty = 1547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1595 / 1547 ti = "11/1595/1547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1595/1547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1595 ÷ 211
    1595 ÷ 2048     		x = 0.77880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1547 ÷ 211
    1547 ÷ 2048     		y = 0.75537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75537109375 × 2 - 1) × π
    -0.5107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60454390408252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75180606} λ = 1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60454390408252))-π/2
    2×atan(0.200981200714141)-π/2
    2×0.198338843804634-π/2
    0.396677687609269-1.57079632675     		φ = -1.17411864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17411864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.272043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1595 KachelY 1547 1.75180606 -1.17411864 100.371094 -67.272043
    Oben rechts KachelX + 1 1596 KachelY 1547 1.75487402 -1.17411864 100.546875 -67.272043
    Unten links KachelX 1595 KachelY + 1 1548 1.75180606 -1.17530229 100.371094 -67.339861
    Unten rechts KachelX + 1 1596 KachelY + 1 1548 1.75487402 -1.17530229 100.546875 -67.339861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17411864--1.17530229) × R
    0.00118364999999998 × 6371000     		dl = 7541.03414999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17411864--1.17530229) × R
    0.00118364999999998 × 6371000     		dr = 7541.03414999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75180606-1.75487402) × cos(-1.17411864) × R
    0.00306795999999987 × 0.38635614568282 × 6371000     		do = 7551.70685371712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75180606-1.75487402) × cos(-1.17530229) × R
    0.00306795999999987 × 0.385264136093535 × 6371000     		du = 7530.3624635945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17411864)-sin(-1.17530229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38635614568282-0.385264136093535)×R²
    abs(1.75487402-1.75180606)×0.00109200958928479×R²
    0.00306795999999987×0.00109200958928479×6371000²
    0.00306795999999987×0.00109200958928479×40589641000000     		ar = 56867206.5266446m²