Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15949 / 15945
↖ ↑ ↗
← N 79.395536°
W136.194763°		 ← 56.21 m → N 79.395536°
W136.192016°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
N 79.395031°
W136.194763°		 ← 56.21 m →
3 158 m²		 N 79.395031°
W136.192016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121685028076172 y=0.121654510498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121685028076172 × 217)
    floor (0.121685028076172 × 131072)
    floor (15949.5)     		tx = 15949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121654510498047 × 217)
    floor (0.121654510498047 × 131072)
    floor (15945.5)     		ty = 15945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15949 / 15945 ti = "17/15949/15945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15949/15945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15949 ÷ 217
    15949 ÷ 131072     		x = 0.121681213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15945 ÷ 217
    15945 ÷ 131072     		y = 0.121650695800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121681213378906 × 2 - 1) × π
    -0.756637573242188 × 3.1415926535     		Λ = -2.37704704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121650695800781 × 2 - 1) × π
    0.756698608398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.3772387890582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37704704} λ = -2.37704704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3772387890582))-π/2
    2×atan(10.7751093998673)-π/2
    2×1.47825492467642-π/2
    2.95650984935284-1.57079632675     		φ = 1.38571352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37704704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.194763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38571352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.395536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15949 KachelY 15945 -2.37704704 1.38571352 -136.194763 79.395536
    Oben rechts KachelX + 1 15950 KachelY 15945 -2.37699910 1.38571352 -136.192016 79.395536
    Unten links KachelX 15949 KachelY + 1 15946 -2.37704704 1.38570470 -136.194763 79.395031
    Unten rechts KachelX + 1 15950 KachelY + 1 15946 -2.37699910 1.38570470 -136.192016 79.395031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38571352-1.38570470) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38571352-1.38570470) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37704704--2.37699910) × cos(1.38571352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184027926697793 × 6371000     		do = 56.2068656923024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37704704--2.37699910) × cos(1.38570470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184036596053989 × 6371000     		du = 56.2095135368339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38571352)-sin(1.38570470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184027926697793-0.184036596053989)×R²
    abs(-2.37699910--2.37704704)×8.66935619620035e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66935619620035e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66935619620035e-06×40589641000000     		ar = 3158.46295660913m²