Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15948 / 10821
↖ ↑ ↗
← N 76.094197°
W 92.395019°		 ← 146.79 m → N 76.094197°
W 92.389526°		 →
↑
146.85 m
↓
↑
146.85 m
↓
N 76.092876°
W 92.395019°		 ← 146.80 m →
21 557 m²		 N 76.092876°
W 92.389526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243354797363281 y=0.165122985839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243354797363281 × 216)
    floor (0.243354797363281 × 65536)
    floor (15948.5)     		tx = 15948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165122985839844 × 216)
    floor (0.165122985839844 × 65536)
    floor (10821.5)     		ty = 10821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15948 / 10821 ti = "16/15948/10821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15948/10821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15948 ÷ 216
    15948 ÷ 65536     		x = 0.24334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10821 ÷ 216
    10821 ÷ 65536     		y = 0.165115356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.5133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.61259730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165115356445312 × 2 - 1) × π
    0.669769287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10414227192274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61259730} λ = -1.61259730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10414227192274))-π/2
    2×atan(8.20006656502098)-π/2
    2×1.44944530167092-π/2
    2.89889060334183-1.57079632675     		φ = 1.32809428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61259730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.395019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32809428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.094197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15948 KachelY 10821 -1.61259730 1.32809428 -92.395019 76.094197
    Oben rechts KachelX + 1 15949 KachelY 10821 -1.61250143 1.32809428 -92.389526 76.094197
    Unten links KachelX 15948 KachelY + 1 10822 -1.61259730 1.32807123 -92.395019 76.092876
    Unten rechts KachelX + 1 15949 KachelY + 1 10822 -1.61250143 1.32807123 -92.389526 76.092876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32809428-1.32807123) × R
    2.30500000000244e-05 × 6371000     		dl = 146.851550000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32809428-1.32807123) × R
    2.30500000000244e-05 × 6371000     		dr = 146.851550000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61259730--1.61250143) × cos(1.32809428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240326356155449 × 6371000     		do = 146.788399148409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61259730--1.61250143) × cos(1.32807123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240348730545572 × 6371000     		du = 146.802065152258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32809428)-sin(1.32807123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240326356155449-0.240348730545572)×R²
    abs(-1.61250143--1.61259730)×2.23743901230922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23743901230922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23743901230922e-05×40589641000000     		ar = 21557.1073746697m²