Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15941 / 18883
↖ ↑ ↗
← S 26.460738°
W  4.866944°		 ← 1 093.66 m → S 26.460738°
W  4.855957°		 →
↑
1 093.58 m
↓
↑
1 093.58 m
↓
S 26.470573°
W  4.866944°		 ← 1 093.57 m →
1 195 956 m²		 S 26.470573°
W  4.855957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486495971679688 y=0.576278686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486495971679688 × 215)
    floor (0.486495971679688 × 32768)
    floor (15941.5)     		tx = 15941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576278686523438 × 215)
    floor (0.576278686523438 × 32768)
    floor (18883.5)     		ty = 18883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15941 / 18883 ti = "15/15941/18883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15941/18883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15941 ÷ 215
    15941 ÷ 32768     		x = 0.486480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18883 ÷ 215
    18883 ÷ 32768     		y = 0.576263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.02703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08494419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.15252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.479177248602081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08494419} λ = -0.08494419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479177248602081))-π/2
    2×atan(0.619292706197592)-π/2
    2×0.554484662722878-π/2
    1.10896932544576-1.57079632675     		φ = -0.46182700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08494419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.866944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46182700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.460738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15941 KachelY 18883 -0.08494419 -0.46182700 -4.866944 -26.460738
    Oben rechts KachelX + 1 15942 KachelY 18883 -0.08475244 -0.46182700 -4.855957 -26.460738
    Unten links KachelX 15941 KachelY + 1 18884 -0.08494419 -0.46199865 -4.866944 -26.470573
    Unten rechts KachelX + 1 15942 KachelY + 1 18884 -0.08475244 -0.46199865 -4.855957 -26.470573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46182700--0.46199865) × R
    0.000171650000000023 × 6371000     		dl = 1093.58215000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46182700--0.46199865) × R
    0.000171650000000023 × 6371000     		dr = 1093.58215000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08494419--0.08475244) × cos(-0.46182700) × R
    0.000191750000000004 × 0.895239909305935 × 6371000     		do = 1093.6602113746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08494419--0.08475244) × cos(-0.46199865) × R
    0.000191750000000004 × 0.895163411546397 × 6371000     		du = 1093.56675870901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46182700)-sin(-0.46199865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895239909305935-0.895163411546397)×R²
    abs(-0.08475244--0.08494419)×7.64977595378857e-05×R²
    0.000191750000000004×7.64977595378857e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.64977595378857e-05×40589641000000     		ar = 1195956.18917725m²