Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1594 / 2550
↖ ↑ ↗
← S 40.313043°
W 39.902344°		 ← 7 452.11 m → S 40.313043°
W 39.814453°		 →
↑
7 448.40 m
↓
↑
7 448.40 m
↓
S 40.380029°
W 39.902344°		 ← 7 444.71 m →
55 478 739 m²		 S 40.380029°
W 39.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3892822265625 y=0.6226806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3892822265625 × 212)
    floor (0.3892822265625 × 4096)
    floor (1594.5)     		tx = 1594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6226806640625 × 212)
    floor (0.6226806640625 × 4096)
    floor (2550.5)     		ty = 2550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1594 / 2550 ti = "12/1594/2550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1594/2550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1594 ÷ 212
    1594 ÷ 4096     		x = 0.38916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2550 ÷ 212
    2550 ÷ 4096     		y = 0.62255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.69642728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62255859375 × 2 - 1) × π
    -0.2451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.770058355496582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69642728} λ = -0.69642728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770058355496582))-π/2
    2×atan(0.462986049742051)-π/2
    2×0.433600495658984-π/2
    0.867200991317968-1.57079632675     		φ = -0.70359534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69642728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.902344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70359534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.313043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1594 KachelY 2550 -0.69642728 -0.70359534 -39.902344 -40.313043
    Oben rechts KachelX + 1 1595 KachelY 2550 -0.69489330 -0.70359534 -39.814453 -40.313043
    Unten links KachelX 1594 KachelY + 1 2551 -0.69642728 -0.70476445 -39.902344 -40.380029
    Unten rechts KachelX + 1 1595 KachelY + 1 2551 -0.69489330 -0.70476445 -39.814453 -40.380029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70359534--0.70476445) × R
    0.00116910999999997 × 6371000     		dl = 7448.39980999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70359534--0.70476445) × R
    0.00116910999999997 × 6371000     		dr = 7448.39980999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69642728--0.69489330) × cos(-0.70359534) × R
    0.00153397999999993 × 0.7625210673055 × 6371000     		do = 7452.10815774361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69642728--0.69489330) × cos(-0.70476445) × R
    0.00153397999999993 × 0.761764175000645 × 6371000     		du = 7444.71105940576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70359534)-sin(-0.70476445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7625210673055-0.761764175000645)×R²
    abs(-0.69489330--0.69642728)×0.000756892304855206×R²
    0.00153397999999993×0.000756892304855206×6371000²
    0.00153397999999993×0.000756892304855206×40589641000000     		ar = 55478739.0324201m²