Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1594 / 1558
↖ ↑ ↗
← S 68.007571°
E100.195313°		 ← 7 319.66 m → S 68.007571°
E100.371094°		 →
↑
7 309.26 m
↓
↑
7 309.26 m
↓
S 68.073305°
E100.195313°		 ← 7 298.86 m →
53 425 244 m²		 S 68.073305°
E100.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778564453125 y=0.760986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778564453125 × 211)
    floor (0.778564453125 × 2048)
    floor (1594.5)     		tx = 1594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760986328125 × 211)
    floor (0.760986328125 × 2048)
    floor (1558.5)     		ty = 1558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1594 / 1558 ti = "11/1594/1558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1594/1558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1594 ÷ 211
    1594 ÷ 2048     		x = 0.7783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1558 ÷ 211
    1558 ÷ 2048     		y = 0.7607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7783203125 × 2 - 1) × π
    0.556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74873810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7607421875 × 2 - 1) × π
    -0.521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63829148141504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74873810} λ = 1.74873810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63829148141504))-π/2
    2×atan(0.194311744076903)-π/2
    2×0.191920148131881-π/2
    0.383840296263761-1.57079632675     		φ = -1.18695603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74873810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.195313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18695603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.007571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1594 KachelY 1558 1.74873810 -1.18695603 100.195313 -68.007571
    Oben rechts KachelX + 1 1595 KachelY 1558 1.75180606 -1.18695603 100.371094 -68.007571
    Unten links KachelX 1594 KachelY + 1 1559 1.74873810 -1.18810330 100.195313 -68.073305
    Unten rechts KachelX + 1 1595 KachelY + 1 1559 1.75180606 -1.18810330 100.371094 -68.073305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18695603--1.18810330) × R
    0.00114727000000014 × 6371000     		dl = 7309.25717000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18695603--1.18810330) × R
    0.00114727000000014 × 6371000     		dr = 7309.25717000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74873810-1.75180606) × cos(-1.18695603) × R
    0.00306796000000009 × 0.374484073328689 × 6371000     		do = 7319.65564613025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74873810-1.75180606) × cos(-1.18810330) × R
    0.00306796000000009 × 0.373420040107369 × 6371000     		du = 7298.85808134498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18695603)-sin(-1.18810330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374484073328689-0.373420040107369)×R²
    abs(1.75180606-1.74873810)×0.0010640332213202×R²
    0.00306796000000009×0.0010640332213202×6371000²
    0.00306796000000009×0.0010640332213202×40589641000000     		ar = 53425243.9986306m²