Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15938 / 18822
↖ ↑ ↗
← S 25.859223°
W  4.899902°		 ← 1 099.31 m → S 25.859223°
W  4.888916°		 →
↑
1 099.25 m
↓
↑
1 099.25 m
↓
S 25.869109°
W  4.899902°		 ← 1 099.22 m →
1 208 374 m²		 S 25.869109°
W  4.888916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486404418945312 y=0.574417114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486404418945312 × 215)
    floor (0.486404418945312 × 32768)
    floor (15938.5)     		tx = 15938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574417114257812 × 215)
    floor (0.574417114257812 × 32768)
    floor (18822.5)     		ty = 18822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15938 / 18822 ti = "15/15938/18822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15938/18822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15938 ÷ 215
    15938 ÷ 32768     		x = 0.48638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18822 ÷ 215
    18822 ÷ 32768     		y = 0.57440185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.0272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08551943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.1488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.467480645094788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08551943} λ = -0.08551943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.467480645094788))-π/2
    2×atan(0.626578855971128)-π/2
    2×0.559733866883531-π/2
    1.11946773376706-1.57079632675     		φ = -0.45132859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08551943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.899902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45132859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.859223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15938 KachelY 18822 -0.08551943 -0.45132859 -4.899902 -25.859223
    Oben rechts KachelX + 1 15939 KachelY 18822 -0.08532768 -0.45132859 -4.888916 -25.859223
    Unten links KachelX 15938 KachelY + 1 18823 -0.08551943 -0.45150113 -4.899902 -25.869109
    Unten rechts KachelX + 1 15939 KachelY + 1 18823 -0.08532768 -0.45150113 -4.888916 -25.869109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45132859--0.45150113) × R
    0.000172539999999999 × 6371000     		dl = 1099.25233999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45132859--0.45150113) × R
    0.000172539999999999 × 6371000     		dr = 1099.25233999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08551943--0.08532768) × cos(-0.45132859) × R
    0.000191749999999991 × 0.899868416951114 × 6371000     		do = 1099.31457798279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08551943--0.08532768) × cos(-0.45150113) × R
    0.000191749999999991 × 0.899793148256046 × 6371000     		du = 1099.2226267906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45132859)-sin(-0.45150113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899868416951114-0.899793148256046)×R²
    abs(-0.08532768--0.08551943)×7.52686950679093e-05×R²
    0.000191749999999991×7.52686950679093e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.52686950679093e-05×40589641000000     		ar = 1208373.58646006m²