Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15938 / 10817
↖ ↑ ↗
← N 76.099476°
W 92.449951°		 ← 146.73 m → N 76.099476°
W 92.444458°		 →
↑
146.72 m
↓
↑
146.72 m
↓
N 76.098157°
W 92.449951°		 ← 146.75 m →
21 530 m²		 N 76.098157°
W 92.444458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243202209472656 y=0.165061950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243202209472656 × 216)
    floor (0.243202209472656 × 65536)
    floor (15938.5)     		tx = 15938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165061950683594 × 216)
    floor (0.165061950683594 × 65536)
    floor (10817.5)     		ty = 10817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15938 / 10817 ti = "16/15938/10817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15938/10817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15938 ÷ 216
    15938 ÷ 65536     		x = 0.243194580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10817 ÷ 216
    10817 ÷ 65536     		y = 0.165054321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.51361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.61355604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165054321289062 × 2 - 1) × π
    0.669891357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10452576711971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61355604} λ = -1.61355604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10452576711971))-π/2
    2×atan(8.20321185422653)-π/2
    2×1.44949137509706-π/2
    2.89898275019411-1.57079632675     		φ = 1.32818642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61355604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.449951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32818642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.099476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15938 KachelY 10817 -1.61355604 1.32818642 -92.449951 76.099476
    Oben rechts KachelX + 1 15939 KachelY 10817 -1.61346017 1.32818642 -92.444458 76.099476
    Unten links KachelX 15938 KachelY + 1 10818 -1.61355604 1.32816339 -92.449951 76.098157
    Unten rechts KachelX + 1 15939 KachelY + 1 10818 -1.61346017 1.32816339 -92.444458 76.098157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32818642-1.32816339) × R
    2.30299999999239e-05 × 6371000     		dl = 146.724129999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32818642-1.32816339) × R
    2.30299999999239e-05 × 6371000     		dr = 146.724129999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61355604--1.61346017) × cos(1.32818642) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240236915561074 × 6371000     		do = 146.733769927223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61355604--1.61346017) × cos(1.32816339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240259271047362 × 6371000     		du = 146.747424384841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32818642)-sin(1.32816339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240236915561074-0.240259271047362)×R²
    abs(-1.61346017--1.61355604)×2.23554862883724e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23554862883724e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23554862883724e-05×40589641000000     		ar = 21530.3864544573m²