Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 15937 / 9793
↖ ↑ ↗
← N 77.388305°
W 92.455445°		 ← 133.37 m → N 77.388305°
W 92.449951°		 →
↑
133.41 m
↓
↑
133.41 m
↓
N 77.387105°
W 92.455445°		 ← 133.39 m →
17 794 m²		 N 77.387105°
W 92.449951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243186950683594 y=0.149436950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243186950683594 × 216)
    floor (0.243186950683594 × 65536)
    floor (15937.5)     		tx = 15937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149436950683594 × 216)
    floor (0.149436950683594 × 65536)
    floor (9793.5)     		ty = 9793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15937 / 9793 ti = "16/15937/9793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15937/9793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15937 ÷ 216
    15937 ÷ 65536     		x = 0.243179321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9793 ÷ 216
    9793 ÷ 65536     		y = 0.149429321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243179321289062 × 2 - 1) × π
    -0.513641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.61365192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149429321289062 × 2 - 1) × π
    0.701141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20270053754158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61365192} λ = -1.61365192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20270053754158))-π/2
    2×atan(9.04941882612094)-π/2
    2×1.46073852291019-π/2
    2.92147704582037-1.57079632675     		φ = 1.35068072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61365192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.455445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35068072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.388305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15937 KachelY 9793 -1.61365192 1.35068072 -92.455445 77.388305
    Oben rechts KachelX + 1 15938 KachelY 9793 -1.61355604 1.35068072 -92.449951 77.388305
    Unten links KachelX 15937 KachelY + 1 9794 -1.61365192 1.35065978 -92.455445 77.387105
    Unten rechts KachelX + 1 15938 KachelY + 1 9794 -1.61355604 1.35065978 -92.449951 77.387105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35068072-1.35065978) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dl = 133.408739999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35068072-1.35065978) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dr = 133.408739999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61365192--1.61355604) × cos(1.35068072) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.218342441998571 × 6371000     		do = 133.374803841554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61365192--1.61355604) × cos(1.35065978) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.218362876714861 × 6371000     		du = 133.387286418243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35068072)-sin(1.35065978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218342441998571-0.218362876714861)×R²
    abs(-1.61355604--1.61365192)×2.04347162894858e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.04347162894858e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.04347162894858e-05×40589641000000     		ar = 17794.1971712845m²