Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15937 / 18781
↖ ↑ ↗
← S 25.453195°
W  4.910889°		 ← 1 103.06 m → S 25.453195°
W  4.899902°		 →
↑
1 103.01 m
↓
↑
1 103.01 m
↓
S 25.463115°
W  4.910889°		 ← 1 102.97 m →
1 216 641 m²		 S 25.463115°
W  4.899902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486373901367188 y=0.573165893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486373901367188 × 215)
    floor (0.486373901367188 × 32768)
    floor (15937.5)     		tx = 15937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573165893554688 × 215)
    floor (0.573165893554688 × 32768)
    floor (18781.5)     		ty = 18781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15937 / 18781 ti = "15/15937/18781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15937/18781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15937 ÷ 215
    15937 ÷ 32768     		x = 0.486358642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18781 ÷ 215
    18781 ÷ 32768     		y = 0.573150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.02728271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08571118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573150634765625 × 2 - 1) × π
    -0.14630126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.459618993557098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08571118} λ = -0.08571118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.459618993557098))-π/2
    2×atan(0.631524214469415)-π/2
    2×0.56327713463098-π/2
    1.12655426926196-1.57079632675     		φ = -0.44424206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08571118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.910889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44424206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.453195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15937 KachelY 18781 -0.08571118 -0.44424206 -4.910889 -25.453195
    Oben rechts KachelX + 1 15938 KachelY 18781 -0.08551943 -0.44424206 -4.899902 -25.453195
    Unten links KachelX 15937 KachelY + 1 18782 -0.08571118 -0.44441519 -4.910889 -25.463115
    Unten rechts KachelX + 1 15938 KachelY + 1 18782 -0.08551943 -0.44441519 -4.899902 -25.463115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44424206--0.44441519) × R
    0.000173130000000021 × 6371000     		dl = 1103.01123000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44424206--0.44441519) × R
    0.000173130000000021 × 6371000     		dr = 1103.01123000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08571118--0.08551943) × cos(-0.44424206) × R
    0.000191750000000004 × 0.902936667347954 × 6371000     		do = 1103.06287309648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08571118--0.08551943) × cos(-0.44441519) × R
    0.000191750000000004 × 0.902862247107108 × 6371000     		du = 1102.97195840927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44424206)-sin(-0.44441519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902936667347954-0.902862247107108)×R²
    abs(-0.08551943--0.08571118)×7.44202408461403e-05×R²
    0.000191750000000004×7.44202408461403e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.44202408461403e-05×40589641000000     		ar = 1216640.5995001m²