Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15935 / 6849
↖ ↑ ↗
← N 71.742990°
W  4.932861°		 ← 382.72 m → N 71.742990°
W  4.921875°		 →
↑
382.71 m
↓
↑
382.71 m
↓
N 71.739548°
W  4.932861°		 ← 382.78 m →
146 481 m²		 N 71.739548°
W  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486312866210938 y=0.209030151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486312866210938 × 215)
    floor (0.486312866210938 × 32768)
    floor (15935.5)     		tx = 15935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209030151367188 × 215)
    floor (0.209030151367188 × 32768)
    floor (6849.5)     		ty = 6849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15935 / 6849 ti = "15/15935/6849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15935/6849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15935 ÷ 215
    15935 ÷ 32768     		x = 0.486297607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6849 ÷ 215
    6849 ÷ 32768     		y = 0.209014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486297607421875 × 2 - 1) × π
    -0.02740478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08609467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209014892578125 × 2 - 1) × π
    0.58197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82831335150894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08609467} λ = -0.08609467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82831335150894))-π/2
    2×atan(6.22338114504341)-π/2
    2×1.41147386080783-π/2
    2.82294772161566-1.57079632675     		φ = 1.25215139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08609467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.932861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25215139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.742990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15935 KachelY 6849 -0.08609467 1.25215139 -4.932861 71.742990
    Oben rechts KachelX + 1 15936 KachelY 6849 -0.08590292 1.25215139 -4.921875 71.742990
    Unten links KachelX 15935 KachelY + 1 6850 -0.08609467 1.25209132 -4.932861 71.739548
    Unten rechts KachelX + 1 15936 KachelY + 1 6850 -0.08590292 1.25209132 -4.921875 71.739548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25215139-1.25209132) × R
    6.00700000001897e-05 × 6371000     		dl = 382.705970001209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25215139-1.25209132) × R
    6.00700000001897e-05 × 6371000     		dr = 382.705970001209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08609467--0.08590292) × cos(1.25215139) × R
    0.000191750000000004 × 0.313279998218804 × 6371000     		do = 382.715142064029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08609467--0.08590292) × cos(1.25209132) × R
    0.000191750000000004 × 0.313337043778047 × 6371000     		du = 382.78483115824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25215139)-sin(1.25209132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313279998218804-0.313337043778047)×R²
    abs(-0.08590292--0.08609467)×5.70455592435737e-05×R²
    0.000191750000000004×5.70455592435737e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.70455592435737e-05×40589641000000     		ar = 146480.704938572m²