Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15934 / 18874
↖ ↑ ↗
← S 26.372186°
W  4.943848°		 ← 1 094.50 m → S 26.372186°
W  4.932861°		 →
↑
1 094.41 m
↓
↑
1 094.41 m
↓
S 26.382028°
W  4.943848°		 ← 1 094.41 m →
1 197 781 m²		 S 26.382028°
W  4.932861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486282348632812 y=0.576004028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486282348632812 × 215)
    floor (0.486282348632812 × 32768)
    floor (15934.5)     		tx = 15934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576004028320312 × 215)
    floor (0.576004028320312 × 32768)
    floor (18874.5)     		ty = 18874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15934 / 18874 ti = "15/15934/18874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15934/18874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15934 ÷ 215
    15934 ÷ 32768     		x = 0.48626708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18874 ÷ 215
    18874 ÷ 32768     		y = 0.57598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08628642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.1519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.477451520215759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08628642} λ = -0.08628642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477451520215759))-π/2
    2×atan(0.620362359900534)-π/2
    2×0.55525742995151-π/2
    1.11051485990302-1.57079632675     		φ = -0.46028147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08628642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46028147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.372186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15934 KachelY 18874 -0.08628642 -0.46028147 -4.943848 -26.372186
    Oben rechts KachelX + 1 15935 KachelY 18874 -0.08609467 -0.46028147 -4.932861 -26.372186
    Unten links KachelX 15934 KachelY + 1 18875 -0.08628642 -0.46045325 -4.943848 -26.382028
    Unten rechts KachelX + 1 15935 KachelY + 1 18875 -0.08609467 -0.46045325 -4.932861 -26.382028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46028147--0.46045325) × R
    0.000171779999999955 × 6371000     		dl = 1094.41037999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46028147--0.46045325) × R
    0.000171779999999955 × 6371000     		dr = 1094.41037999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08628642--0.08609467) × cos(-0.46028147) × R
    0.000191750000000004 × 0.895927503958467 × 6371000     		do = 1094.50020399022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08628642--0.08609467) × cos(-0.46045325) × R
    0.000191750000000004 × 0.89585118601241 × 6371000     		du = 1094.40697099184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46028147)-sin(-0.46045325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895927503958467-0.89585118601241)×R²
    abs(-0.08609467--0.08628642)×7.63179460567809e-05×R²
    0.000191750000000004×7.63179460567809e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.63179460567809e-05×40589641000000     		ar = 1197781.3695235m²