Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15930 / 9794
↖ ↑ ↗
← N 77.387105°
W 92.493896°		 ← 133.37 m → N 77.387105°
W 92.488403°		 →
↑
133.35 m
↓
↑
133.35 m
↓
N 77.385906°
W 92.493896°		 ← 133.39 m →
17 786 m²		 N 77.385906°
W 92.488403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.243080139160156 y=0.149452209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.243080139160156 × 216)
    floor (0.243080139160156 × 65536)
    floor (15930.5)     		tx = 15930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149452209472656 × 216)
    floor (0.149452209472656 × 65536)
    floor (9794.5)     		ty = 9794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15930 / 9794 ti = "16/15930/9794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15930/9794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15930 ÷ 216
    15930 ÷ 65536     		x = 0.243072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9794 ÷ 216
    9794 ÷ 65536     		y = 0.149444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.243072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.51385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.61432303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149444580078125 × 2 - 1) × π
    0.70111083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20260466374234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61432303} λ = -1.61432303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20260466374234))-π/2
    2×atan(9.04855126554599)-π/2
    2×1.46072805576077-π/2
    2.92145611152153-1.57079632675     		φ = 1.35065978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61432303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.493896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35065978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.387105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15930 KachelY 9794 -1.61432303 1.35065978 -92.493896 77.387105
    Oben rechts KachelX + 1 15931 KachelY 9794 -1.61422716 1.35065978 -92.488403 77.387105
    Unten links KachelX 15930 KachelY + 1 9795 -1.61432303 1.35063885 -92.493896 77.385906
    Unten rechts KachelX + 1 15931 KachelY + 1 9795 -1.61422716 1.35063885 -92.488403 77.385906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35065978-1.35063885) × R
    2.09300000000301e-05 × 6371000     		dl = 133.345030000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35065978-1.35063885) × R
    2.09300000000301e-05 × 6371000     		dr = 133.345030000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61432303--1.61422716) × cos(1.35065978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218362876714861 × 6371000     		do = 133.373374519452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61432303--1.61422716) × cos(1.35063885) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218383301576771 × 6371000     		du = 133.38584977531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35065978)-sin(1.35063885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218362876714861-0.218383301576771)×R²
    abs(-1.61422716--1.61432303)×2.04248619102843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04248619102843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04248619102843e-05×40589641000000     		ar = 17785.50838396m²