Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15930 / 6843
↖ ↑ ↗
← N 71.763630°
W  4.987793°		 ← 382.30 m → N 71.763630°
W  4.976807°		 →
↑
382.32 m
↓
↑
382.32 m
↓
N 71.760191°
W  4.987793°		 ← 382.37 m →
146 175 m²		 N 71.760191°
W  4.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486160278320312 y=0.208847045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486160278320312 × 215)
    floor (0.486160278320312 × 32768)
    floor (15930.5)     		tx = 15930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208847045898438 × 215)
    floor (0.208847045898438 × 32768)
    floor (6843.5)     		ty = 6843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15930 / 6843 ti = "15/15930/6843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15930/6843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15930 ÷ 215
    15930 ÷ 32768     		x = 0.48614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6843 ÷ 215
    6843 ÷ 32768     		y = 0.208831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08705341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208831787109375 × 2 - 1) × π
    0.58233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82946383709982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08705341} λ = -0.08705341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82946383709982))-π/2
    2×atan(6.23054517564413)-π/2
    2×1.41165397445183-π/2
    2.82330794890367-1.57079632675     		φ = 1.25251162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08705341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25251162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.763630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15930 KachelY 6843 -0.08705341 1.25251162 -4.987793 71.763630
    Oben rechts KachelX + 1 15931 KachelY 6843 -0.08686166 1.25251162 -4.976807 71.763630
    Unten links KachelX 15930 KachelY + 1 6844 -0.08705341 1.25245161 -4.987793 71.760191
    Unten rechts KachelX + 1 15931 KachelY + 1 6844 -0.08686166 1.25245161 -4.976807 71.760191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25251162-1.25245161) × R
    6.00099999998882e-05 × 6371000     		dl = 382.323709999288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25251162-1.25245161) × R
    6.00099999998882e-05 × 6371000     		dr = 382.323709999288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08705341--0.08686166) × cos(1.25251162) × R
    0.000191750000000004 × 0.312937881588274 × 6371000     		do = 382.297198960097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08705341--0.08686166) × cos(1.25245161) × R
    0.000191750000000004 × 0.312994876938216 × 6371000     		du = 382.366826716653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25251162)-sin(1.25245161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312937881588274-0.312994876938216)×R²
    abs(-0.08686166--0.08705341)×5.69953499417464e-05×R²
    0.000191750000000004×5.69953499417464e-05×6371000²
    0.000191750000000004×5.69953499417464e-05×40589641000000     		ar = 146174.593643414m²