Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15930 / 18817
↖ ↑ ↗
← S 25.809782°
W  4.987793°		 ← 1 099.77 m → S 25.809782°
W  4.976807°		 →
↑
1 099.76 m
↓
↑
1 099.76 m
↓
S 25.819672°
W  4.987793°		 ← 1 099.68 m →
1 209 439 m²		 S 25.819672°
W  4.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486160278320312 y=0.574264526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486160278320312 × 215)
    floor (0.486160278320312 × 32768)
    floor (15930.5)     		tx = 15930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574264526367188 × 215)
    floor (0.574264526367188 × 32768)
    floor (18817.5)     		ty = 18817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15930 / 18817 ti = "15/15930/18817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15930/18817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15930 ÷ 215
    15930 ÷ 32768     		x = 0.48614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18817 ÷ 215
    18817 ÷ 32768     		y = 0.574249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08705341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.14849853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.466521907102387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08705341} λ = -0.08705341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.466521907102387))-π/2
    2×atan(0.627179868986552)-π/2
    2×0.560165326053299-π/2
    1.1203306521066-1.57079632675     		φ = -0.45046567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08705341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45046567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.809782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15930 KachelY 18817 -0.08705341 -0.45046567 -4.987793 -25.809782
    Oben rechts KachelX + 1 15931 KachelY 18817 -0.08686166 -0.45046567 -4.976807 -25.809782
    Unten links KachelX 15930 KachelY + 1 18818 -0.08705341 -0.45063829 -4.987793 -25.819672
    Unten rechts KachelX + 1 15931 KachelY + 1 18818 -0.08686166 -0.45063829 -4.976807 -25.819672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45046567--0.45063829) × R
    0.000172620000000012 × 6371000     		dl = 1099.76202000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45046567--0.45063829) × R
    0.000172620000000012 × 6371000     		dr = 1099.76202000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08705341--0.08686166) × cos(-0.45046567) × R
    0.000191750000000004 × 0.900244454329406 × 6371000     		do = 1099.77396000366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08705341--0.08686166) × cos(-0.45063829) × R
    0.000191750000000004 × 0.900169284793334 × 6371000     		du = 1099.68212994799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45046567)-sin(-0.45063829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900244454329406-0.900169284793334)×R²
    abs(-0.08686166--0.08705341)×7.51695360722282e-05×R²
    0.000191750000000004×7.51695360722282e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.51695360722282e-05×40589641000000     		ar = 1209439.13919658m²