Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15929 / 18811
↖ ↑ ↗
← S 25.750425°
W  4.998779°		 ← 1 100.32 m → S 25.750425°
W  4.987793°		 →
↑
1 100.27 m
↓
↑
1 100.27 m
↓
S 25.760320°
W  4.998779°		 ← 1 100.23 m →
1 210 605 m²		 S 25.760320°
W  4.987793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486129760742188 y=0.574081420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486129760742188 × 215)
    floor (0.486129760742188 × 32768)
    floor (15929.5)     		tx = 15929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574081420898438 × 215)
    floor (0.574081420898438 × 32768)
    floor (18811.5)     		ty = 18811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15929 / 18811 ti = "15/15929/18811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15929/18811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15929 ÷ 215
    15929 ÷ 32768     		x = 0.486114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18811 ÷ 215
    18811 ÷ 32768     		y = 0.574066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486114501953125 × 2 - 1) × π
    -0.02777099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08724516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.14813232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.465371421511505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08724516} λ = -0.08724516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465371421511505))-π/2
    2×atan(0.627901845620934)-π/2
    2×0.560683314816469-π/2
    1.12136662963294-1.57079632675     		φ = -0.44942970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08724516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.998779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44942970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.750425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15929 KachelY 18811 -0.08724516 -0.44942970 -4.998779 -25.750425
    Oben rechts KachelX + 1 15930 KachelY 18811 -0.08705341 -0.44942970 -4.987793 -25.750425
    Unten links KachelX 15929 KachelY + 1 18812 -0.08724516 -0.44960240 -4.998779 -25.760320
    Unten rechts KachelX + 1 15930 KachelY + 1 18812 -0.08705341 -0.44960240 -4.987793 -25.760320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44942970--0.44960240) × R
    0.000172700000000026 × 6371000     		dl = 1100.27170000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44942970--0.44960240) × R
    0.000172700000000026 × 6371000     		dr = 1100.27170000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08724516--0.08705341) × cos(-0.44942970) × R
    0.000191750000000004 × 0.900695016751689 × 6371000     		do = 1100.3243847433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08724516--0.08705341) × cos(-0.44960240) × R
    0.000191750000000004 × 0.900619973470552 × 6371000     		du = 1100.23270892561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44942970)-sin(-0.44960240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900695016751689-0.900619973470552)×R²
    abs(-0.08705341--0.08724516)×7.50432811376101e-05×R²
    0.000191750000000004×7.50432811376101e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.50432811376101e-05×40589641000000     		ar = 1210605.3502081m²