Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15927 / 18961
↖ ↑ ↗
← S 27.225326°
W  5.020752°		 ← 1 086.30 m → S 27.225326°
W  5.009765°		 →
↑
1 086.19 m
↓
↑
1 086.19 m
↓
S 27.235094°
W  5.020752°		 ← 1 086.20 m →
1 179 877 m²		 S 27.235094°
W  5.009765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486068725585938 y=0.578659057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486068725585938 × 215)
    floor (0.486068725585938 × 32768)
    floor (15927.5)     		tx = 15927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578659057617188 × 215)
    floor (0.578659057617188 × 32768)
    floor (18961.5)     		ty = 18961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15927 / 18961 ti = "15/15927/18961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15927/18961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15927 ÷ 215
    15927 ÷ 32768     		x = 0.486053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18961 ÷ 215
    18961 ÷ 32768     		y = 0.578643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486053466796875 × 2 - 1) × π
    -0.02789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08762865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.15728759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.494133561283539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08762865} λ = -0.08762865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.494133561283539))-π/2
    2×atan(0.610099292004248)-π/2
    2×0.547812375512606-π/2
    1.09562475102521-1.57079632675     		φ = -0.47517158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08762865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47517158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.225326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15927 KachelY 18961 -0.08762865 -0.47517158 -5.020752 -27.225326
    Oben rechts KachelX + 1 15928 KachelY 18961 -0.08743690 -0.47517158 -5.009765 -27.225326
    Unten links KachelX 15927 KachelY + 1 18962 -0.08762865 -0.47534207 -5.020752 -27.235094
    Unten rechts KachelX + 1 15928 KachelY + 1 18962 -0.08743690 -0.47534207 -5.009765 -27.235094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47517158--0.47534207) × R
    0.000170490000000023 × 6371000     		dl = 1086.19179000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47517158--0.47534207) × R
    0.000170490000000023 × 6371000     		dr = 1086.19179000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08762865--0.08743690) × cos(-0.47517158) × R
    0.000191750000000004 × 0.889214238402532 × 6371000     		do = 1086.29901529142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08762865--0.08743690) × cos(-0.47534207) × R
    0.000191750000000004 × 0.889136227834684 × 6371000     		du = 1086.20371451982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47517158)-sin(-0.47534207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889214238402532-0.889136227834684)×R²
    abs(-0.08743690--0.08762865)×7.80105678480636e-05×R²
    0.000191750000000004×7.80105678480636e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.80105678480636e-05×40589641000000     		ar = 1179877.31729504m²