Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15926 / 18942
↖ ↑ ↗
← S 27.039557°
W  5.031738°		 ← 1 088.11 m → S 27.039557°
W  5.020752°		 →
↑
1 088.04 m
↓
↑
1 088.04 m
↓
S 27.049342°
W  5.031738°		 ← 1 088.01 m →
1 183 850 m²		 S 27.049342°
W  5.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486038208007812 y=0.578079223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486038208007812 × 215)
    floor (0.486038208007812 × 32768)
    floor (15926.5)     		tx = 15926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578079223632812 × 215)
    floor (0.578079223632812 × 32768)
    floor (18942.5)     		ty = 18942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15926 / 18942 ti = "15/15926/18942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15926/18942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15926 ÷ 215
    15926 ÷ 32768     		x = 0.48602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18942 ÷ 215
    18942 ÷ 32768     		y = 0.57806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.0279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08782040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.1561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.490490356912415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08782040} λ = -0.08782040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490490356912415))-π/2
    2×atan(0.612326062238241)-π/2
    2×0.549433517910133-π/2
    1.09886703582027-1.57079632675     		φ = -0.47192929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08782040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47192929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.039557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15926 KachelY 18942 -0.08782040 -0.47192929 -5.031738 -27.039557
    Oben rechts KachelX + 1 15927 KachelY 18942 -0.08762865 -0.47192929 -5.020752 -27.039557
    Unten links KachelX 15926 KachelY + 1 18943 -0.08782040 -0.47210007 -5.031738 -27.049342
    Unten rechts KachelX + 1 15927 KachelY + 1 18943 -0.08762865 -0.47210007 -5.020752 -27.049342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47192929--0.47210007) × R
    0.000170779999999982 × 6371000     		dl = 1088.03937999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47192929--0.47210007) × R
    0.000170779999999982 × 6371000     		dr = 1088.03937999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08782040--0.08762865) × cos(-0.47192929) × R
    0.000191750000000004 × 0.890692880476496 × 6371000     		do = 1088.10538248567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08782040--0.08762865) × cos(-0.47210007) × R
    0.000191750000000004 × 0.890615229954677 × 6371000     		du = 1088.01052156043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47192929)-sin(-0.47210007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890692880476496-0.890615229954677)×R²
    abs(-0.08762865--0.08782040)×7.76505218194057e-05×R²
    0.000191750000000004×7.76505218194057e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.76505218194057e-05×40589641000000     		ar = 1183849.9024003m²