Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15925 / 18795
↖ ↑ ↗
← S 25.591994°
W  5.042725°		 ← 1 101.79 m → S 25.591994°
W  5.031738°		 →
↑
1 101.74 m
↓
↑
1 101.74 m
↓
S 25.601902°
W  5.042725°		 ← 1 101.70 m →
1 213 830 m²		 S 25.601902°
W  5.031738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486007690429688 y=0.573593139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486007690429688 × 215)
    floor (0.486007690429688 × 32768)
    floor (15925.5)     		tx = 15925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573593139648438 × 215)
    floor (0.573593139648438 × 32768)
    floor (18795.5)     		ty = 18795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15925 / 18795 ti = "15/15925/18795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15925/18795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15925 ÷ 215
    15925 ÷ 32768     		x = 0.485992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18795 ÷ 215
    18795 ÷ 32768     		y = 0.573577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485992431640625 × 2 - 1) × π
    -0.02801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08801215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.14715576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.462303459935822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08801215} λ = -0.08801215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462303459935822))-π/2
    2×atan(0.629831182408861)-π/2
    2×0.562065883105071-π/2
    1.12413176621014-1.57079632675     		φ = -0.44666456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08801215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.042725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44666456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.591994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15925 KachelY 18795 -0.08801215 -0.44666456 -5.042725 -25.591994
    Oben rechts KachelX + 1 15926 KachelY 18795 -0.08782040 -0.44666456 -5.031738 -25.591994
    Unten links KachelX 15925 KachelY + 1 18796 -0.08801215 -0.44683749 -5.042725 -25.601902
    Unten rechts KachelX + 1 15926 KachelY + 1 18796 -0.08782040 -0.44683749 -5.031738 -25.601902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44666456--0.44683749) × R
    0.000172930000000016 × 6371000     		dl = 1101.7370300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44666456--0.44683749) × R
    0.000172930000000016 × 6371000     		dr = 1101.7370300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08801215--0.08782040) × cos(-0.44666456) × R
    0.000191749999999991 × 0.901892892299312 × 6371000     		do = 1101.78775652881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08801215--0.08782040) × cos(-0.44683749) × R
    0.000191749999999991 × 0.901818180017623 × 6371000     		du = 1101.69648507304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44666456)-sin(-0.44683749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901892892299312-0.901818180017623)×R²
    abs(-0.08782040--0.08801215)×7.47122816890933e-05×R²
    0.000191749999999991×7.47122816890933e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.47122816890933e-05×40589641000000     		ar = 1213830.09502223m²