Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15922 / 18943
↖ ↑ ↗
← S 27.049342°
W  5.075684°		 ← 1 088.01 m → S 27.049342°
W  5.064697°		 →
↑
1 087.98 m
↓
↑
1 087.98 m
↓
S 27.059126°
W  5.075684°		 ← 1 087.92 m →
1 183 677 m²		 S 27.059126°
W  5.064697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485916137695312 y=0.578109741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485916137695312 × 215)
    floor (0.485916137695312 × 32768)
    floor (15922.5)     		tx = 15922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578109741210938 × 215)
    floor (0.578109741210938 × 32768)
    floor (18943.5)     		ty = 18943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15922 / 18943 ti = "15/15922/18943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15922/18943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15922 ÷ 215
    15922 ÷ 32768     		x = 0.48590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18943 ÷ 215
    18943 ÷ 32768     		y = 0.578094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.0281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08858739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.15618896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.490682104510895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08858739} λ = -0.08858739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490682104510895))-π/2
    2×atan(0.61220866144234)-π/2
    2×0.549348127521956-π/2
    1.09869625504391-1.57079632675     		φ = -0.47210007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08858739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.075684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47210007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.049342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15922 KachelY 18943 -0.08858739 -0.47210007 -5.075684 -27.049342
    Oben rechts KachelX + 1 15923 KachelY 18943 -0.08839564 -0.47210007 -5.064697 -27.049342
    Unten links KachelX 15922 KachelY + 1 18944 -0.08858739 -0.47227084 -5.075684 -27.059126
    Unten rechts KachelX + 1 15923 KachelY + 1 18944 -0.08839564 -0.47227084 -5.064697 -27.059126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47210007--0.47227084) × R
    0.000170770000000042 × 6371000     		dl = 1087.97567000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47210007--0.47227084) × R
    0.000170770000000042 × 6371000     		dr = 1087.97567000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08858739--0.08839564) × cos(-0.47210007) × R
    0.000191750000000004 × 0.890615229954677 × 6371000     		do = 1088.01052156043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08858739--0.08839564) × cos(-0.47227084) × R
    0.000191750000000004 × 0.890537558006442 × 6371000     		du = 1087.91563445985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47210007)-sin(-0.47227084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890615229954677-0.890537558006442)×R²
    abs(-0.08839564--0.08858739)×7.76719482351584e-05×R²
    0.000191750000000004×7.76719482351584e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.76719482351584e-05×40589641000000     		ar = 1183677.36161032m²