Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15922 / 18794
↖ ↑ ↗
← S 25.582085°
W  5.075684°		 ← 1 101.88 m → S 25.582085°
W  5.064697°		 →
↑
1 101.80 m
↓
↑
1 101.80 m
↓
S 25.591994°
W  5.075684°		 ← 1 101.79 m →
1 214 001 m²		 S 25.591994°
W  5.064697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485916137695312 y=0.573562622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485916137695312 × 215)
    floor (0.485916137695312 × 32768)
    floor (15922.5)     		tx = 15922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573562622070312 × 215)
    floor (0.573562622070312 × 32768)
    floor (18794.5)     		ty = 18794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15922 / 18794 ti = "15/15922/18794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15922/18794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15922 ÷ 215
    15922 ÷ 32768     		x = 0.48590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18794 ÷ 215
    18794 ÷ 32768     		y = 0.57354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.0281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.08858739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.462111712337341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08858739} λ = -0.08858739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462111712337341))-π/2
    2×atan(0.629951962604822)-π/2
    2×0.562152354583756-π/2
    1.12430470916751-1.57079632675     		φ = -0.44649162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08858739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.075684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44649162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.582085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15922 KachelY 18794 -0.08858739 -0.44649162 -5.075684 -25.582085
    Oben rechts KachelX + 1 15923 KachelY 18794 -0.08839564 -0.44649162 -5.064697 -25.582085
    Unten links KachelX 15922 KachelY + 1 18795 -0.08858739 -0.44666456 -5.075684 -25.591994
    Unten rechts KachelX + 1 15923 KachelY + 1 18795 -0.08839564 -0.44666456 -5.064697 -25.591994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44649162--0.44666456) × R
    0.00017294000000001 × 6371000     		dl = 1101.80074000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44649162--0.44666456) × R
    0.00017294000000001 × 6371000     		dr = 1101.80074000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08858739--0.08839564) × cos(-0.44649162) × R
    0.000191750000000004 × 0.901967581928126 × 6371000     		do = 1101.87900031101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08858739--0.08839564) × cos(-0.44666456) × R
    0.000191750000000004 × 0.901892892299312 × 6371000     		du = 1101.78775652889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44649162)-sin(-0.44666456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901967581928126-0.901892892299312)×R²
    abs(-0.08839564--0.08858739)×7.4689628813851e-05×R²
    0.000191750000000004×7.4689628813851e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.4689628813851e-05×40589641000000     		ar = 1214000.8347253m²