Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15920 / 18946
↖ ↑ ↗
← S 27.078691°
W  5.097656°		 ← 1 087.73 m → S 27.078691°
W  5.086670°		 →
↑
1 087.72 m
↓
↑
1 087.72 m
↓
S 27.088473°
W  5.097656°		 ← 1 087.63 m →
1 183 090 m²		 S 27.088473°
W  5.086670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485855102539062 y=0.578201293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485855102539062 × 215)
    floor (0.485855102539062 × 32768)
    floor (15920.5)     		tx = 15920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578201293945312 × 215)
    floor (0.578201293945312 × 32768)
    floor (18946.5)     		ty = 18946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15920 / 18946 ti = "15/15920/18946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15920/18946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15920 ÷ 215
    15920 ÷ 32768     		x = 0.48583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18946 ÷ 215
    18946 ÷ 32768     		y = 0.57818603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57818603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1563720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.491257347306335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08897089} λ = -0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.491257347306335))-π/2
    2×atan(0.61185659409235)-π/2
    2×0.549092001038418-π/2
    1.09818400207684-1.57079632675     		φ = -0.47261232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47261232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.078691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15920 KachelY 18946 -0.08897089 -0.47261232 -5.097656 -27.078691
    Oben rechts KachelX + 1 15921 KachelY 18946 -0.08877914 -0.47261232 -5.086670 -27.078691
    Unten links KachelX 15920 KachelY + 1 18947 -0.08897089 -0.47278305 -5.097656 -27.088473
    Unten rechts KachelX + 1 15921 KachelY + 1 18947 -0.08877914 -0.47278305 -5.086670 -27.088473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47261232--0.47278305) × R
    0.000170730000000008 × 6371000     		dl = 1087.72083000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47261232--0.47278305) × R
    0.000170730000000008 × 6371000     		dr = 1087.72083000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08897089--0.08877914) × cos(-0.47261232) × R
    0.000191749999999991 × 0.890382163514449 × 6371000     		do = 1087.72579844911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08897089--0.08877914) × cos(-0.47278305) × R
    0.000191749999999991 × 0.890304431886149 × 6371000     		du = 1087.63083844102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47261232)-sin(-0.47278305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890382163514449-0.890304431886149)×R²
    abs(-0.08877914--0.08897089)×7.77316282994933e-05×R²
    0.000191749999999991×7.77316282994933e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.77316282994933e-05×40589641000000     		ar = 1183090.36618558m²