Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15920 / 18800
↖ ↑ ↗
← S 25.641526°
W  5.097656°		 ← 1 101.33 m → S 25.641526°
W  5.086670°		 →
↑
1 101.29 m
↓
↑
1 101.29 m
↓
S 25.651430°
W  5.097656°		 ← 1 101.24 m →
1 212 836 m²		 S 25.651430°
W  5.086670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485855102539062 y=0.573745727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485855102539062 × 215)
    floor (0.485855102539062 × 32768)
    floor (15920.5)     		tx = 15920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573745727539062 × 215)
    floor (0.573745727539062 × 32768)
    floor (18800.5)     		ty = 18800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15920 / 18800 ti = "15/15920/18800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15920/18800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15920 ÷ 215
    15920 ÷ 32768     		x = 0.48583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18800 ÷ 215
    18800 ÷ 32768     		y = 0.57373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.463262197928223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08897089} λ = -0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.463262197928223))-π/2
    2×atan(0.629227628696655)-π/2
    2×0.561633633179938-π/2
    1.12326726635988-1.57079632675     		φ = -0.44752906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44752906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.641526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15920 KachelY 18800 -0.08897089 -0.44752906 -5.097656 -25.641526
    Oben rechts KachelX + 1 15921 KachelY 18800 -0.08877914 -0.44752906 -5.086670 -25.641526
    Unten links KachelX 15920 KachelY + 1 18801 -0.08897089 -0.44770192 -5.097656 -25.651430
    Unten rechts KachelX + 1 15921 KachelY + 1 18801 -0.08877914 -0.44770192 -5.086670 -25.651430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44752906--0.44770192) × R
    0.000172859999999997 × 6371000     		dl = 1101.29105999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44752906--0.44770192) × R
    0.000172859999999997 × 6371000     		dr = 1101.29105999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08897089--0.08877914) × cos(-0.44752906) × R
    0.000191749999999991 × 0.901519126137334 × 6371000     		do = 1101.33114911501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08897089--0.08877914) × cos(-0.44770192) × R
    0.000191749999999991 × 0.901444309360652 × 6371000     		du = 1101.23975000406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44752906)-sin(-0.44770192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901519126137334-0.901444309360652)×R²
    abs(-0.08877914--0.08897089)×7.48167766813079e-05×R²
    0.000191749999999991×7.48167766813079e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.48167766813079e-05×40589641000000     		ar = 1212835.82312795m²