Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1592 / 1505
↖ ↑ ↗
← S 64.244595°
E 99.843750°		 ← 8 493.34 m → S 64.244595°
E100.019531°		 →
↑
8 481.58 m
↓
↑
8 481.58 m
↓
S 64.320872°
E 99.843750°		 ← 8 469.90 m →
71 937 606 m²		 S 64.320872°
E100.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777587890625 y=0.735107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777587890625 × 211)
    floor (0.777587890625 × 2048)
    floor (1592.5)     		tx = 1592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735107421875 × 211)
    floor (0.735107421875 × 2048)
    floor (1505.5)     		ty = 1505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1592 / 1505 ti = "11/1592/1505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1592/1505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1592 ÷ 211
    1592 ÷ 2048     		x = 0.77734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1505 ÷ 211
    1505 ÷ 2048     		y = 0.73486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77734375 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74260217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73486328125 × 2 - 1) × π
    -0.4697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47568951790381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74260217} λ = 1.74260217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47568951790381))-π/2
    2×atan(0.228621034389117)-π/2
    2×0.224758310751209-π/2
    0.449516621502417-1.57079632675     		φ = -1.12127971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74260217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12127971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.244595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1592 KachelY 1505 1.74260217 -1.12127971 99.843750 -64.244595
    Oben rechts KachelX + 1 1593 KachelY 1505 1.74567014 -1.12127971 100.019531 -64.244595
    Unten links KachelX 1592 KachelY + 1 1506 1.74260217 -1.12261099 99.843750 -64.320872
    Unten rechts KachelX + 1 1593 KachelY + 1 1506 1.74567014 -1.12261099 100.019531 -64.320872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12127971--1.12261099) × R
    0.00133128000000005 × 6371000     		dl = 8481.58488000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12127971--1.12261099) × R
    0.00133128000000005 × 6371000     		dr = 8481.58488000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74260217-1.74567014) × cos(-1.12127971) × R
    0.00306797000000003 × 0.434530222304944 × 6371000     		do = 8493.34374630182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74260217-1.74567014) × cos(-1.12261099) × R
    0.00306797000000003 × 0.433330810612138 × 6371000     		du = 8469.90000113192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12127971)-sin(-1.12261099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434530222304944-0.433330810612138)×R²
    abs(1.74567014-1.74260217)×0.0011994116928063×R²
    0.00306797000000003×0.0011994116928063×6371000²
    0.00306797000000003×0.0011994116928063×40589641000000     		ar = 71937606.4666184m²