Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15919 / 18799
↖ ↑ ↗
← S 25.631622°
W  5.108642°		 ← 1 101.37 m → S 25.631622°
W  5.097656°		 →
↑
1 101.35 m
↓
↑
1 101.35 m
↓
S 25.641526°
W  5.108642°		 ← 1 101.27 m →
1 212 943 m²		 S 25.641526°
W  5.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485824584960938 y=0.573715209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485824584960938 × 215)
    floor (0.485824584960938 × 32768)
    floor (15919.5)     		tx = 15919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573715209960938 × 215)
    floor (0.573715209960938 × 32768)
    floor (18799.5)     		ty = 18799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15919 / 18799 ti = "15/15919/18799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15919/18799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15919 ÷ 215
    15919 ÷ 32768     		x = 0.485809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18799 ÷ 215
    18799 ÷ 32768     		y = 0.573699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485809326171875 × 2 - 1) × π
    -0.02838134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.08916263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573699951171875 × 2 - 1) × π
    -0.14739990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.463070450329742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08916263} λ = -0.08916263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.463070450329742))-π/2
    2×atan(0.629348293151545)-π/2
    2×0.561720068829224-π/2
    1.12344013765845-1.57079632675     		φ = -0.44735619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08916263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.108642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44735619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.631622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15919 KachelY 18799 -0.08916263 -0.44735619 -5.108642 -25.631622
    Oben rechts KachelX + 1 15920 KachelY 18799 -0.08897089 -0.44735619 -5.097656 -25.631622
    Unten links KachelX 15919 KachelY + 1 18800 -0.08916263 -0.44752906 -5.108642 -25.641526
    Unten rechts KachelX + 1 15920 KachelY + 1 18800 -0.08897089 -0.44752906 -5.097656 -25.641526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44735619--0.44752906) × R
    0.000172869999999992 × 6371000     		dl = 1101.35476999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44735619--0.44752906) × R
    0.000172869999999992 × 6371000     		dr = 1101.35476999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08916263--0.08897089) × cos(-0.44735619) × R
    0.00019174000000001 × 0.901593920301935 × 6371000     		do = 1101.36508005361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08916263--0.08897089) × cos(-0.44752906) × R
    0.00019174000000001 × 0.901519126137334 × 6371000     		du = 1101.2737133316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44735619)-sin(-0.44752906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901593920301935-0.901519126137334)×R²
    abs(-0.08897089--0.08916263)×7.47941646013217e-05×R²
    0.00019174000000001×7.47941646013217e-05×6371000²
    0.00019174000000001×7.47941646013217e-05×40589641000000     		ar = 1212943.37386159m²