Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15916 / 18801
↖ ↑ ↗
← S 25.651430°
W  5.141602°		 ← 1 101.24 m → S 25.651430°
W  5.130615°		 →
↑
1 101.16 m
↓
↑
1 101.16 m
↓
S 25.661333°
W  5.141602°		 ← 1 101.15 m →
1 212 595 m²		 S 25.661333°
W  5.130615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485733032226562 y=0.573776245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485733032226562 × 215)
    floor (0.485733032226562 × 32768)
    floor (15916.5)     		tx = 15916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573776245117188 × 215)
    floor (0.573776245117188 × 32768)
    floor (18801.5)     		ty = 18801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15916 / 18801 ti = "15/15916/18801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15916/18801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15916 ÷ 215
    15916 ÷ 32768     		x = 0.4857177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18801 ÷ 215
    18801 ÷ 32768     		y = 0.573760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4857177734375 × 2 - 1) × π
    -0.028564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08973788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.14752197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.463453945526703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08973788} λ = -0.08973788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.463453945526703))-π/2
    2×atan(0.629106987376666)-π/2
    2×0.561547204702501-π/2
    1.123094409405-1.57079632675     		φ = -0.44770192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08973788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.141602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44770192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.651430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15916 KachelY 18801 -0.08973788 -0.44770192 -5.141602 -25.651430
    Oben rechts KachelX + 1 15917 KachelY 18801 -0.08954613 -0.44770192 -5.130615 -25.651430
    Unten links KachelX 15916 KachelY + 1 18802 -0.08973788 -0.44787476 -5.141602 -25.661333
    Unten rechts KachelX + 1 15917 KachelY + 1 18802 -0.08954613 -0.44787476 -5.130615 -25.661333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44770192--0.44787476) × R
    0.000172840000000007 × 6371000     		dl = 1101.16364000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44770192--0.44787476) × R
    0.000172840000000007 × 6371000     		dr = 1101.16364000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08973788--0.08954613) × cos(-0.44770192) × R
    0.000191750000000004 × 0.901444309360652 × 6371000     		do = 1101.23975000414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08973788--0.08954613) × cos(-0.44787476) × R
    0.000191750000000004 × 0.901369474309311 × 6371000     		du = 1101.14832856815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44770192)-sin(-0.44787476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901444309360652-0.901369474309311)×R²
    abs(-0.08954613--0.08973788)×7.48350513416485e-05×R²
    0.000191750000000004×7.48350513416485e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.48350513416485e-05×40589641000000     		ar = 1212594.8396655m²