Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15915 / 18927
↖ ↑ ↗
← S 26.892679°
W  5.152588°		 ← 1 089.47 m → S 26.892679°
W  5.141602°		 →
↑
1 089.50 m
↓
↑
1 089.50 m
↓
S 26.902477°
W  5.152588°		 ← 1 089.37 m →
1 186 930 m²		 S 26.902477°
W  5.141602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485702514648438 y=0.577621459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485702514648438 × 215)
    floor (0.485702514648438 × 32768)
    floor (15915.5)     		tx = 15915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577621459960938 × 215)
    floor (0.577621459960938 × 32768)
    floor (18927.5)     		ty = 18927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15915 / 18927 ti = "15/15915/18927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15915/18927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15915 ÷ 215
    15915 ÷ 32768     		x = 0.485687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18927 ÷ 215
    18927 ÷ 32768     		y = 0.577606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485687255859375 × 2 - 1) × π
    -0.02862548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.08992962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.577606201171875 × 2 - 1) × π
    -0.15521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.487614142935211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08992962} λ = -0.08992962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.487614142935211))-π/2
    2×atan(0.614089778213449)-π/2
    2×0.550715265950739-π/2
    1.10143053190148-1.57079632675     		φ = -0.46936579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08992962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.152588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46936579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.892679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15915 KachelY 18927 -0.08992962 -0.46936579 -5.152588 -26.892679
    Oben rechts KachelX + 1 15916 KachelY 18927 -0.08973788 -0.46936579 -5.141602 -26.892679
    Unten links KachelX 15915 KachelY + 1 18928 -0.08992962 -0.46953680 -5.152588 -26.902477
    Unten rechts KachelX + 1 15916 KachelY + 1 18928 -0.08973788 -0.46953680 -5.141602 -26.902477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46936579--0.46953680) × R
    0.000171009999999971 × 6371000     		dl = 1089.50470999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46936579--0.46953680) × R
    0.000171009999999971 × 6371000     		dr = 1089.50470999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08992962--0.08973788) × cos(-0.46936579) × R
    0.000191739999999996 × 0.891855333882796 × 6371000     		do = 1089.46866108973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08992962--0.08973788) × cos(-0.46953680) × R
    0.000191739999999996 × 0.891777969470339 × 6371000     		du = 1089.37415461581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46936579)-sin(-0.46953680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891855333882796-0.891777969470339)×R²
    abs(-0.08973788--0.08992962)×7.73644124574258e-05×R²
    0.000191739999999996×7.73644124574258e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.73644124574258e-05×40589641000000     		ar = 1186929.75792274m²