Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15912 / 21832
↖ ↑ ↗
← N 75.968227°
W136.296387°		 ← 74.05 m → N 75.968227°
W136.293640°		 →
↑
74.03 m
↓
↑
74.03 m
↓
N 75.967561°
W136.296387°		 ← 74.06 m →
5 482 m²		 N 75.967561°
W136.293640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121402740478516 y=0.166568756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121402740478516 × 217)
    floor (0.121402740478516 × 131072)
    floor (15912.5)     		tx = 15912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166568756103516 × 217)
    floor (0.166568756103516 × 131072)
    floor (21832.5)     		ty = 21832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15912 / 21832 ti = "17/15912/21832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15912/21832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15912 ÷ 217
    15912 ÷ 131072     		x = 0.12139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21832 ÷ 217
    21832 ÷ 131072     		y = 0.16656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.7572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.37882071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16656494140625 × 2 - 1) × π
    0.6668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09503426099493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37882071} λ = -2.37882071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09503426099493))-π/2
    2×atan(8.12571936067349)-π/2
    2×1.4483460026646-π/2
    2.8966920053292-1.57079632675     		φ = 1.32589568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37882071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.296387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32589568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.968227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15912 KachelY 21832 -2.37882071 1.32589568 -136.296387 75.968227
    Oben rechts KachelX + 1 15913 KachelY 21832 -2.37877277 1.32589568 -136.293640 75.968227
    Unten links KachelX 15912 KachelY + 1 21833 -2.37882071 1.32588406 -136.296387 75.967561
    Unten rechts KachelX + 1 15913 KachelY + 1 21833 -2.37877277 1.32588406 -136.293640 75.967561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32589568-1.32588406) × R
    1.161999999999e-05 × 6371000     		dl = 74.0310199999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32589568-1.32588406) × R
    1.161999999999e-05 × 6371000     		dr = 74.0310199999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37882071--2.37877277) × cos(1.32589568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24245993733896 × 6371000     		do = 74.053505782057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37882071--2.37877277) × cos(1.32588406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242471210598279 × 6371000     		du = 74.0569489256267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32589568)-sin(1.32588406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24245993733896-0.242471210598279)×R²
    abs(-2.37877277--2.37882071)×1.12732593187392e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12732593187392e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12732593187392e-05×40589641000000     		ar = 5482.38401740405m²