Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15912 / 18907
↖ ↑ ↗
← S 26.696545°
W  5.185547°		 ← 1 091.41 m → S 26.696545°
W  5.174561°		 →
↑
1 091.35 m
↓
↑
1 091.35 m
↓
S 26.706360°
W  5.185547°		 ← 1 091.32 m →
1 191 062 m²		 S 26.706360°
W  5.174561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485610961914062 y=0.577011108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485610961914062 × 215)
    floor (0.485610961914062 × 32768)
    floor (15912.5)     		tx = 15912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.577011108398438 × 215)
    floor (0.577011108398438 × 32768)
    floor (18907.5)     		ty = 18907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15912 / 18907 ti = "15/15912/18907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15912/18907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15912 ÷ 215
    15912 ÷ 32768     		x = 0.485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18907 ÷ 215
    18907 ÷ 32768     		y = 0.576995849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.02880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09050487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576995849609375 × 2 - 1) × π
    -0.15399169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.483779190965607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09050487} λ = -0.09050487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.483779190965607))-π/2
    2×atan(0.616449304461071)-π/2
    2×0.552426857851446-π/2
    1.10485371570289-1.57079632675     		φ = -0.46594261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09050487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46594261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.696545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15912 KachelY 18907 -0.09050487 -0.46594261 -5.185547 -26.696545
    Oben rechts KachelX + 1 15913 KachelY 18907 -0.09031312 -0.46594261 -5.174561 -26.696545
    Unten links KachelX 15912 KachelY + 1 18908 -0.09050487 -0.46611391 -5.185547 -26.706360
    Unten rechts KachelX + 1 15913 KachelY + 1 18908 -0.09031312 -0.46611391 -5.174561 -26.706360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46594261--0.46611391) × R
    0.000171300000000041 × 6371000     		dl = 1091.35230000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46594261--0.46611391) × R
    0.000171300000000041 × 6371000     		dr = 1091.35230000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09050487--0.09031312) × cos(-0.46594261) × R
    0.000191750000000004 × 0.893398480766159 × 6371000     		do = 1091.41064999434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09050487--0.09031312) × cos(-0.46611391) × R
    0.000191750000000004 × 0.893321508542434 × 6371000     		du = 1091.31661770467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46594261)-sin(-0.46611391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893398480766159-0.893321508542434)×R²
    abs(-0.09031312--0.09050487)×7.69722237258241e-05×R²
    0.000191750000000004×7.69722237258241e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.69722237258241e-05×40589641000000     		ar = 1191062.21485076m²