Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1591 / 1546
↖ ↑ ↗
← S 67.204032°
E 99.667969°		 ← 7 573.10 m → S 67.204032°
E 99.843750°		 →
↑
7 562.44 m
↓
↑
7 562.44 m
↓
S 67.272043°
E 99.667969°		 ← 7 551.71 m →
57 190 239 m²		 S 67.272043°
E 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777099609375 y=0.755126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777099609375 × 211)
    floor (0.777099609375 × 2048)
    floor (1591.5)     		tx = 1591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755126953125 × 211)
    floor (0.755126953125 × 2048)
    floor (1546.5)     		ty = 1546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1591 / 1546 ti = "11/1591/1546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1591/1546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1591 ÷ 211
    1591 ÷ 2048     		x = 0.77685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1546 ÷ 211
    1546 ÷ 2048     		y = 0.7548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77685546875 × 2 - 1) × π
    0.5537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73953421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7548828125 × 2 - 1) × π
    -0.509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60147594250684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73953421} λ = 1.73953421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60147594250684))-π/2
    2×atan(0.201598750139937)-π/2
    2×0.198932345901764-π/2
    0.397864691803527-1.57079632675     		φ = -1.17293163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73953421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17293163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.204032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1591 KachelY 1546 1.73953421 -1.17293163 99.667969 -67.204032
    Oben rechts KachelX + 1 1592 KachelY 1546 1.74260217 -1.17293163 99.843750 -67.204032
    Unten links KachelX 1591 KachelY + 1 1547 1.73953421 -1.17411864 99.667969 -67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 1592 KachelY + 1 1547 1.74260217 -1.17411864 99.843750 -67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17293163--1.17411864) × R
    0.00118701000000021 × 6371000     		dl = 7562.44071000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17293163--1.17411864) × R
    0.00118701000000021 × 6371000     		dr = 7562.44071000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73953421-1.74260217) × cos(-1.17293163) × R
    0.00306796000000009 × 0.387450711530649 × 6371000     		do = 7573.1012084012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73953421-1.74260217) × cos(-1.17411864) × R
    0.00306796000000009 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 7551.70685371767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17293163)-sin(-1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387450711530649-0.38635614568282)×R²
    abs(1.74260217-1.73953421)×0.00109456584782952×R²
    0.00306796000000009×0.00109456584782952×6371000²
    0.00306796000000009×0.00109456584782952×40589641000000     		ar = 57190238.8250158m²