Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15902 / 11757
↖ ↑ ↗
← N 74.803226°
W 92.647705°		 ← 160.13 m → N 74.803226°
W 92.642212°		 →
↑
160.17 m
↓
↑
160.17 m
↓
N 74.801786°
W 92.647705°		 ← 160.14 m →
25 648 m²		 N 74.801786°
W 92.642212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242652893066406 y=0.179405212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242652893066406 × 216)
    floor (0.242652893066406 × 65536)
    floor (15902.5)     		tx = 15902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179405212402344 × 216)
    floor (0.179405212402344 × 65536)
    floor (11757.5)     		ty = 11757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15902 / 11757 ti = "16/15902/11757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15902/11757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15902 ÷ 216
    15902 ÷ 65536     		x = 0.242645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11757 ÷ 216
    11757 ÷ 65536     		y = 0.179397583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.51470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.61700750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179397583007812 × 2 - 1) × π
    0.641204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.014404395834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61700750} λ = -1.61700750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.014404395834))-π/2
    2×atan(7.49626124688282)-π/2
    2×1.43817945676505-π/2
    2.8763589135301-1.57079632675     		φ = 1.30556259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61700750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.647705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30556259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.803226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15902 KachelY 11757 -1.61700750 1.30556259 -92.647705 74.803226
    Oben rechts KachelX + 1 15903 KachelY 11757 -1.61691162 1.30556259 -92.642212 74.803226
    Unten links KachelX 15902 KachelY + 1 11758 -1.61700750 1.30553745 -92.647705 74.801786
    Unten rechts KachelX + 1 15903 KachelY + 1 11758 -1.61691162 1.30553745 -92.642212 74.801786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30556259-1.30553745) × R
    2.51399999999791e-05 × 6371000     		dl = 160.166939999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30556259-1.30553745) × R
    2.51399999999791e-05 × 6371000     		dr = 160.166939999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61700750--1.61691162) × cos(1.30556259) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.262134838620975 × 6371000     		do = 160.125454131079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61700750--1.61691162) × cos(1.30553745) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.262159099423928 × 6371000     		du = 160.140273878469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30556259)-sin(1.30553745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262134838620975-0.262159099423928)×R²
    abs(-1.61691162--1.61700750)×2.42608029533131e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.42608029533131e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.42608029533131e-05×40589641000000     		ar = 25647.9908223543m²