Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1590 / 1523
↖ ↑ ↗
← S 65.585720°
E 99.492187°		 ← 8 078.96 m → S 65.585720°
E 99.667969°		 →
↑
8 067.66 m
↓
↑
8 067.66 m
↓
S 65.658274°
E 99.492187°		 ← 8 056.42 m →
65 087 412 m²		 S 65.658274°
E 99.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776611328125 y=0.743896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776611328125 × 211)
    floor (0.776611328125 × 2048)
    floor (1590.5)     		tx = 1590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743896484375 × 211)
    floor (0.743896484375 × 2048)
    floor (1523.5)     		ty = 1523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1590 / 1523 ti = "11/1590/1523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1590/1523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1590 ÷ 211
    1590 ÷ 2048     		x = 0.7763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1523 ÷ 211
    1523 ÷ 2048     		y = 0.74365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7763671875 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73646625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74365234375 × 2 - 1) × π
    -0.4873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53091282626611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73646625} λ = 1.73646625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53091282626611))-π/2
    2×atan(0.216338098058253)-π/2
    2×0.213054785057659-π/2
    0.426109570115318-1.57079632675     		φ = -1.14468676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73646625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.492187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14468676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.585720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1590 KachelY 1523 1.73646625 -1.14468676 99.492187 -65.585720
    Oben rechts KachelX + 1 1591 KachelY 1523 1.73953421 -1.14468676 99.667969 -65.585720
    Unten links KachelX 1590 KachelY + 1 1524 1.73646625 -1.14595307 99.492187 -65.658274
    Unten rechts KachelX + 1 1591 KachelY + 1 1524 1.73953421 -1.14595307 99.667969 -65.658274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14468676--1.14595307) × R
    0.0012663100000001 × 6371000     		dl = 8067.66101000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14468676--1.14595307) × R
    0.0012663100000001 × 6371000     		dr = 8067.66101000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73646625-1.73953421) × cos(-1.14468676) × R
    0.00306795999999987 × 0.413331386050995 × 6371000     		do = 8078.964177938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73646625-1.73953421) × cos(-1.14595307) × R
    0.00306795999999987 × 0.412177977547995 × 6371000     		du = 8056.41968629586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14468676)-sin(-1.14595307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413331386050995-0.412177977547995)×R²
    abs(1.73953421-1.73646625)×0.00115340850299961×R²
    0.00306795999999987×0.00115340850299961×6371000²
    0.00306795999999987×0.00115340850299961×40589641000000     		ar = 65087412.3389649m²