Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15898 / 11735
↖ ↑ ↗
← N 74.834873°
W 92.669678°		 ← 159.78 m → N 74.834873°
W 92.664185°		 →
↑
159.85 m
↓
↑
159.85 m
↓
N 74.833435°
W 92.669678°		 ← 159.80 m →
25 542 m²		 N 74.833435°
W 92.664185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242591857910156 y=0.179069519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242591857910156 × 216)
    floor (0.242591857910156 × 65536)
    floor (15898.5)     		tx = 15898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179069519042969 × 216)
    floor (0.179069519042969 × 65536)
    floor (11735.5)     		ty = 11735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15898 / 11735 ti = "16/15898/11735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15898/11735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15898 ÷ 216
    15898 ÷ 65536     		x = 0.242584228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11735 ÷ 216
    11735 ÷ 65536     		y = 0.179061889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.51483154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.61739099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179061889648438 × 2 - 1) × π
    0.641876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.01651361941728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61739099} λ = -1.61739099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01651361941728))-π/2
    2×atan(7.51208922439492)-π/2
    2×1.43845562608404-π/2
    2.87691125216808-1.57079632675     		φ = 1.30611493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61739099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.669678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30611493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.834873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15898 KachelY 11735 -1.61739099 1.30611493 -92.669678 74.834873
    Oben rechts KachelX + 1 15899 KachelY 11735 -1.61729512 1.30611493 -92.664185 74.834873
    Unten links KachelX 15898 KachelY + 1 11736 -1.61739099 1.30608984 -92.669678 74.833435
    Unten rechts KachelX + 1 15899 KachelY + 1 11736 -1.61729512 1.30608984 -92.664185 74.833435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30611493-1.30608984) × R
    2.50899999998389e-05 × 6371000     		dl = 159.848389998973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30611493-1.30608984) × R
    2.50899999998389e-05 × 6371000     		dr = 159.848389998973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61739099--1.61729512) × cos(1.30611493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.261601773297781 × 6371000     		do = 159.783163740594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61739099--1.61729512) × cos(1.30608984) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.261625989478695 × 6371000     		du = 159.797954687732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30611493)-sin(1.30608984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.261601773297781-0.261625989478695)×R²
    abs(-1.61729512--1.61739099)×2.42161809135832e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.42161809135832e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.42161809135832e-05×40589641000000     		ar = 25542.2636289129m²