Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15898 / 10717
↖ ↑ ↗
← S 48.414619°
E169.321289°		 ← 1 621.65 m → S 48.414619°
E169.343262°		 →
↑
1 621.42 m
↓
↑
1 621.42 m
↓
S 48.429200°
E169.321289°		 ← 1 621.18 m →
2 628 995 m²		 S 48.429200°
E169.343262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.970367431640625 y=0.654144287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.970367431640625 × 214)
    floor (0.970367431640625 × 16384)
    floor (15898.5)     		tx = 15898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654144287109375 × 214)
    floor (0.654144287109375 × 16384)
    floor (10717.5)     		ty = 10717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15898 / 10717 ti = "14/15898/10717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15898/10717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15898 ÷ 214
    15898 ÷ 16384     		x = 0.9703369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10717 ÷ 214
    10717 ÷ 16384     		y = 0.65411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9703369140625 × 2 - 1) × π
    0.940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.95521399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.3082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.968325372325134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95521399} λ = 2.95521399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968325372325134))-π/2
    2×atan(0.379718392892955)-π/2
    2×0.362900912920333-π/2
    0.725801825840665-1.57079632675     		φ = -0.84499450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95521399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.321289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84499450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.414619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15898 KachelY 10717 2.95521399 -0.84499450 169.321289 -48.414619
    Oben rechts KachelX + 1 15899 KachelY 10717 2.95559748 -0.84499450 169.343262 -48.414619
    Unten links KachelX 15898 KachelY + 1 10718 2.95521399 -0.84524900 169.321289 -48.429200
    Unten rechts KachelX + 1 15899 KachelY + 1 10718 2.95559748 -0.84524900 169.343262 -48.429200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84499450--0.84524900) × R
    0.000254500000000046 × 6371000     		dl = 1621.4195000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84499450--0.84524900) × R
    0.000254500000000046 × 6371000     		dr = 1621.4195000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95521399-2.95559748) × cos(-0.84499450) × R
    0.000383490000000375 × 0.66373539631797 × 6371000     		do = 1621.64813693216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95521399-2.95559748) × cos(-0.84524900) × R
    0.000383490000000375 × 0.663545017105883 × 6371000     		du = 1621.18299962548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84499450)-sin(-0.84524900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66373539631797-0.663545017105883)×R²
    abs(2.95559748-2.95521399)×0.000190379212086644×R²
    0.000383490000000375×0.000190379212086644×6371000²
    0.000383490000000375×0.000190379212086644×40589641000000     		ar = 2628994.83420088m²