Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15890 / 21842
↖ ↑ ↗
← N 75.961565°
W136.356812°		 ← 74.09 m → N 75.961565°
W136.354065°		 →
↑
74.03 m
↓
↑
74.03 m
↓
N 75.960900°
W136.356812°		 ← 74.09 m →
5 485 m²		 N 75.960900°
W136.354065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121234893798828 y=0.166645050048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121234893798828 × 217)
    floor (0.121234893798828 × 131072)
    floor (15890.5)     		tx = 15890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166645050048828 × 217)
    floor (0.166645050048828 × 131072)
    floor (21842.5)     		ty = 21842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15890 / 21842 ti = "17/15890/21842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15890/21842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15890 ÷ 217
    15890 ÷ 131072     		x = 0.121231079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21842 ÷ 217
    21842 ÷ 131072     		y = 0.166641235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121231079101562 × 2 - 1) × π
    -0.757537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.37987532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166641235351562 × 2 - 1) × π
    0.666717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09455489199873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.37987532} λ = -2.37987532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09455489199873))-π/2
    2×atan(8.12182507621434)-π/2
    2×1.44828787526053-π/2
    2.89657575052105-1.57079632675     		φ = 1.32577942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.37987532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.356812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32577942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.961565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15890 KachelY 21842 -2.37987532 1.32577942 -136.356812 75.961565
    Oben rechts KachelX + 1 15891 KachelY 21842 -2.37982738 1.32577942 -136.354065 75.961565
    Unten links KachelX 15890 KachelY + 1 21843 -2.37987532 1.32576780 -136.356812 75.960900
    Unten rechts KachelX + 1 15891 KachelY + 1 21843 -2.37982738 1.32576780 -136.354065 75.960900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32577942-1.32576780) × R
    1.161999999999e-05 × 6371000     		dl = 74.0310199999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32577942-1.32576780) × R
    1.161999999999e-05 × 6371000     		dr = 74.0310199999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.37987532--2.37982738) × cos(1.32577942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.24257272666668 × 6371000     		do = 74.0879545459399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.37987532--2.37982738) × cos(1.32576780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242583999598366 × 6371000     		du = 74.091397589442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32577942)-sin(1.32576780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24257272666668-0.242583999598366)×R²
    abs(-2.37982738--2.37987532)×1.12729316858184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12729316858184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12729316858184e-05×40589641000000     		ar = 5484.93429078977m²