Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1589 / 1510
↖ ↑ ↗
← S 64.623877°
E 99.316406°		 ← 8 376.60 m → S 64.623877°
E 99.492187°		 →
↑
8 365 m
↓
↑
8 365 m
↓
S 64.699105°
E 99.316406°		 ← 8 353.40 m →
69 973 186 m²		 S 64.699105°
E 99.492187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776123046875 y=0.737548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776123046875 × 211)
    floor (0.776123046875 × 2048)
    floor (1589.5)     		tx = 1589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737548828125 × 211)
    floor (0.737548828125 × 2048)
    floor (1510.5)     		ty = 1510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1589 / 1510 ti = "11/1589/1510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1589/1510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1589 ÷ 211
    1589 ÷ 2048     		x = 0.77587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1510 ÷ 211
    1510 ÷ 2048     		y = 0.7373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77587890625 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73339829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7373046875 × 2 - 1) × π
    -0.474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49102932578223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73339829} λ = 1.73339829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49102932578223))-π/2
    2×atan(0.225140793005997)-π/2
    2×0.221448447116471-π/2
    0.442896894232941-1.57079632675     		φ = -1.12789943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73339829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12789943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.623877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1589 KachelY 1510 1.73339829 -1.12789943 99.316406 -64.623877
    Oben rechts KachelX + 1 1590 KachelY 1510 1.73646625 -1.12789943 99.492187 -64.623877
    Unten links KachelX 1589 KachelY + 1 1511 1.73339829 -1.12921241 99.316406 -64.699105
    Unten rechts KachelX + 1 1590 KachelY + 1 1511 1.73646625 -1.12921241 99.492187 -64.699105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12789943--1.12921241) × R
    0.00131298000000002 × 6371000     		dl = 8364.99558000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12789943--1.12921241) × R
    0.00131298000000002 × 6371000     		dr = 8364.99558000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73339829-1.73646625) × cos(-1.12789943) × R
    0.00306796000000009 × 0.428558646350392 × 6371000     		do = 8376.59579905095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73339829-1.73646625) × cos(-1.12921241) × R
    0.00306796000000009 × 0.427371981524642 × 6371000     		du = 8353.40128021692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12789943)-sin(-1.12921241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428558646350392-0.427371981524642)×R²
    abs(1.73646625-1.73339829)×0.00118666482575025×R²
    0.00306796000000009×0.00118666482575025×6371000²
    0.00306796000000009×0.00118666482575025×40589641000000     		ar = 69973185.8630702m²