Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15888 / 10715
↖ ↑ ↗
← S 48.385442°
E169.101563°		 ← 1 622.58 m → S 48.385442°
E169.123535°		 →
↑
1 622.38 m
↓
↑
1 622.38 m
↓
S 48.400033°
E169.101563°		 ← 1 622.11 m →
2 632 054 m²		 S 48.400033°
E169.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969757080078125 y=0.654022216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969757080078125 × 214)
    floor (0.969757080078125 × 16384)
    floor (15888.5)     		tx = 15888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654022216796875 × 214)
    floor (0.654022216796875 × 16384)
    floor (10715.5)     		ty = 10715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15888 / 10715 ti = "14/15888/10715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15888/10715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15888 ÷ 214
    15888 ÷ 16384     		x = 0.9697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10715 ÷ 214
    10715 ÷ 16384     		y = 0.65399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9697265625 × 2 - 1) × π
    0.939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.95137904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65399169921875 × 2 - 1) × π
    -0.3079833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.967558381931213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95137904} λ = 2.95137904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967558381931213))-π/2
    2×atan(0.380009744970538)-π/2
    2×0.363155525272116-π/2
    0.726311050544231-1.57079632675     		φ = -0.84448528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95137904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84448528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.385442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15888 KachelY 10715 2.95137904 -0.84448528 169.101563 -48.385442
    Oben rechts KachelX + 1 15889 KachelY 10715 2.95176253 -0.84448528 169.123535 -48.385442
    Unten links KachelX 15888 KachelY + 1 10716 2.95137904 -0.84473993 169.101563 -48.400033
    Unten rechts KachelX + 1 15889 KachelY + 1 10716 2.95176253 -0.84473993 169.123535 -48.400033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84448528--0.84473993) × R
    0.000254650000000023 × 6371000     		dl = 1622.37515000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84448528--0.84473993) × R
    0.000254650000000023 × 6371000     		dr = 1622.37515000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95137904-2.95176253) × cos(-0.84448528) × R
    0.000383489999999931 × 0.664116190237372 × 6371000     		do = 1622.57849826611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95137904-2.95176253) × cos(-0.84473993) × R
    0.000383489999999931 × 0.663925784885643 × 6371000     		du = 1622.11329709467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84448528)-sin(-0.84473993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664116190237372-0.663925784885643)×R²
    abs(2.95176253-2.95137904)×0.000190405351728318×R²
    0.000383489999999931×0.000190405351728318×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190405351728318×40589641000000     		ar = 2632053.68332531m²