Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15887 / 21846
↖ ↑ ↗
← N 75.958901°
W136.365051°		 ← 74.10 m → N 75.958901°
W136.362305°		 →
↑
74.09 m
↓
↑
74.09 m
↓
N 75.958234°
W136.365051°		 ← 74.11 m →
5 491 m²		 N 75.958234°
W136.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121212005615234 y=0.166675567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121212005615234 × 217)
    floor (0.121212005615234 × 131072)
    floor (15887.5)     		tx = 15887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166675567626953 × 217)
    floor (0.166675567626953 × 131072)
    floor (21846.5)     		ty = 21846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15887 / 21846 ti = "17/15887/21846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15887/21846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15887 ÷ 217
    15887 ÷ 131072     		x = 0.121208190917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21846 ÷ 217
    21846 ÷ 131072     		y = 0.166671752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121208190917969 × 2 - 1) × π
    -0.757583618164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.38001913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166671752929688 × 2 - 1) × π
    0.666656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09436314440025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38001913} λ = -2.38001913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09436314440025))-π/2
    2×atan(8.12026788505931)-π/2
    2×1.44826461672877-π/2
    2.89652923345753-1.57079632675     		φ = 1.32573291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38001913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.365051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32573291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.958901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15887 KachelY 21846 -2.38001913 1.32573291 -136.365051 75.958901
    Oben rechts KachelX + 1 15888 KachelY 21846 -2.37997119 1.32573291 -136.362305 75.958901
    Unten links KachelX 15887 KachelY + 1 21847 -2.38001913 1.32572128 -136.365051 75.958234
    Unten rechts KachelX + 1 15888 KachelY + 1 21847 -2.37997119 1.32572128 -136.362305 75.958234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32573291-1.32572128) × R
    1.16299999999292e-05 × 6371000     		dl = 74.0947299995489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32573291-1.32572128) × R
    1.16299999999292e-05 × 6371000     		dr = 74.0947299995489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38001913--2.37997119) × cos(1.32573291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242617847300547 × 6371000     		do = 74.101735548928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38001913--2.37997119) × cos(1.32572128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242629129802311 × 6371000     		du = 74.1051815153784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32573291)-sin(1.32572128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242617847300547-0.242629129802311)×R²
    abs(-2.37997119--2.38001913)×1.12825017642149e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12825017642149e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12825017642149e-05×40589641000000     		ar = 5490.6757521768m²