Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15887 / 10716
↖ ↑ ↗
← S 48.400033°
E169.079590°		 ← 1 622.16 m → S 48.400033°
E169.101563°		 →
↑
1 621.87 m
↓
↑
1 621.87 m
↓
S 48.414619°
E169.079590°		 ← 1 621.69 m →
2 630 541 m²		 S 48.414619°
E169.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969696044921875 y=0.654083251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969696044921875 × 214)
    floor (0.969696044921875 × 16384)
    floor (15887.5)     		tx = 15887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654083251953125 × 214)
    floor (0.654083251953125 × 16384)
    floor (10716.5)     		ty = 10716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15887 / 10716 ti = "14/15887/10716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15887/10716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15887 ÷ 214
    15887 ÷ 16384     		x = 0.96966552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10716 ÷ 214
    10716 ÷ 16384     		y = 0.654052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96966552734375 × 2 - 1) × π
    0.9393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.95099554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.30810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.967941877128174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.95099554} λ = 2.95099554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967941877128174))-π/2
    2×atan(0.379864040998716)-π/2
    2×0.363028200841975-π/2
    0.726056401683951-1.57079632675     		φ = -0.84473993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.95099554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 169.079590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84473993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.400033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15887 KachelY 10716 2.95099554 -0.84473993 169.079590 -48.400033
    Oben rechts KachelX + 1 15888 KachelY 10716 2.95137904 -0.84473993 169.101563 -48.400033
    Unten links KachelX 15887 KachelY + 1 10717 2.95099554 -0.84499450 169.079590 -48.414619
    Unten rechts KachelX + 1 15888 KachelY + 1 10717 2.95137904 -0.84499450 169.101563 -48.414619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84473993--0.84499450) × R
    0.000254569999999954 × 6371000     		dl = 1621.86546999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84473993--0.84499450) × R
    0.000254569999999954 × 6371000     		dr = 1621.86546999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.95099554-2.95137904) × cos(-0.84473993) × R
    0.00038349999999987 × 0.663925784885643 × 6371000     		do = 1622.15559580617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.95099554-2.95137904) × cos(-0.84499450) × R
    0.00038349999999987 × 0.66373539631797 × 6371000     		du = 1621.69042351213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84473993)-sin(-0.84499450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663925784885643-0.66373539631797)×R²
    abs(2.95137904-2.95099554)×0.000190388567673727×R²
    0.00038349999999987×0.000190388567673727×6371000²
    0.00038349999999987×0.000190388567673727×40589641000000     		ar = 2630540.9385703m²