Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15884 / 19228
↖ ↑ ↗
← S 29.802518°
W  5.493164°		 ← 1 060.07 m → S 29.802518°
W  5.482178°		 →
↑
1 060.01 m
↓
↑
1 060.01 m
↓
S 29.812051°
W  5.493164°		 ← 1 059.97 m →
1 123 628 m²		 S 29.812051°
W  5.482178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484756469726562 y=0.586807250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484756469726562 × 215)
    floor (0.484756469726562 × 32768)
    floor (15884.5)     		tx = 15884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586807250976562 × 215)
    floor (0.586807250976562 × 32768)
    floor (19228.5)     		ty = 19228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15884 / 19228 ti = "15/15884/19228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15884/19228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15884 ÷ 215
    15884 ÷ 32768     		x = 0.4847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19228 ÷ 215
    19228 ÷ 32768     		y = 0.5867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09587380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5867919921875 × 2 - 1) × π
    -0.173583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.545330170077759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09587380} λ = -0.09587380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545330170077759))-π/2
    2×atan(0.579650368534613)-π/2
    2×0.525322131984133-π/2
    1.05064426396827-1.57079632675     		φ = -0.52015206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09587380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.493164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52015206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.802518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15884 KachelY 19228 -0.09587380 -0.52015206 -5.493164 -29.802518
    Oben rechts KachelX + 1 15885 KachelY 19228 -0.09568205 -0.52015206 -5.482178 -29.802518
    Unten links KachelX 15884 KachelY + 1 19229 -0.09587380 -0.52031844 -5.493164 -29.812051
    Unten rechts KachelX + 1 15885 KachelY + 1 19229 -0.09568205 -0.52031844 -5.482178 -29.812051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52015206--0.52031844) × R
    0.000166380000000022 × 6371000     		dl = 1060.00698000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52015206--0.52031844) × R
    0.000166380000000022 × 6371000     		dr = 1060.00698000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09587380--0.09568205) × cos(-0.52015206) × R
    0.000191749999999991 × 0.867743614051217 × 6371000     		do = 1060.06965786177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09587380--0.09568205) × cos(-0.52031844) × R
    0.000191749999999991 × 0.867660909169047 × 6371000     		du = 1059.96862233154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52015206)-sin(-0.52031844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867743614051217-0.867660909169047)×R²
    abs(-0.09568205--0.09587380)×8.27048821705478e-05×R²
    0.000191749999999991×8.27048821705478e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.27048821705478e-05×40589641000000     		ar = 1123627.69002839m²