Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15883 / 21844
↖ ↑ ↗
← N 75.960233°
W136.376038°		 ← 74.09 m → N 75.960233°
W136.373291°		 →
↑
74.09 m
↓
↑
74.09 m
↓
N 75.959567°
W136.376038°		 ← 74.10 m →
5 490 m²		 N 75.959567°
W136.373291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121181488037109 y=0.166660308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121181488037109 × 217)
    floor (0.121181488037109 × 131072)
    floor (15883.5)     		tx = 15883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166660308837891 × 217)
    floor (0.166660308837891 × 131072)
    floor (21844.5)     		ty = 21844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15883 / 21844 ti = "17/15883/21844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15883/21844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15883 ÷ 217
    15883 ÷ 131072     		x = 0.121177673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21844 ÷ 217
    21844 ÷ 131072     		y = 0.166656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121177673339844 × 2 - 1) × π
    -0.757644653320312 × 3.1415926535     		Λ = -2.38021088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166656494140625 × 2 - 1) × π
    0.66668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09445901819949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38021088} λ = -2.38021088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09445901819949))-π/2
    2×atan(8.12104644331337)-π/2
    2×1.44827624653546-π/2
    2.89655249307093-1.57079632675     		φ = 1.32575617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38021088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.376038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32575617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.960233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15883 KachelY 21844 -2.38021088 1.32575617 -136.376038 75.960233
    Oben rechts KachelX + 1 15884 KachelY 21844 -2.38016294 1.32575617 -136.373291 75.960233
    Unten links KachelX 15883 KachelY + 1 21845 -2.38021088 1.32574454 -136.376038 75.959567
    Unten rechts KachelX + 1 15884 KachelY + 1 21845 -2.38016294 1.32574454 -136.373291 75.959567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32575617-1.32574454) × R
    1.16299999999292e-05 × 6371000     		dl = 74.0947299995489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32575617-1.32574454) × R
    1.16299999999292e-05 × 6371000     		dr = 74.0947299995489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38021088--2.38016294) × cos(1.32575617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242595282198573 × 6371000     		do = 74.0948435859593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38021088--2.38016294) × cos(1.32574454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242606564765967 × 6371000     		du = 74.0982895724548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32575617)-sin(1.32574454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242595282198573-0.242606564765967)×R²
    abs(-2.38016294--2.38021088)×1.12825673941608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12825673941608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12825673941608e-05×40589641000000     		ar = 5490.16509459008m²