Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15883 / 19227
↖ ↑ ↗
← S 29.792984°
W  5.504151°		 ← 1 060.17 m → S 29.792984°
W  5.493164°		 →
↑
1 060.07 m
↓
↑
1 060.07 m
↓
S 29.802518°
W  5.504151°		 ← 1 060.07 m →
1 123 802 m²		 S 29.802518°
W  5.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484725952148438 y=0.586776733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484725952148438 × 215)
    floor (0.484725952148438 × 32768)
    floor (15883.5)     		tx = 15883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586776733398438 × 215)
    floor (0.586776733398438 × 32768)
    floor (19227.5)     		ty = 19227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15883 / 19227 ti = "15/15883/19227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15883/19227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15883 ÷ 215
    15883 ÷ 32768     		x = 0.484710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19227 ÷ 215
    19227 ÷ 32768     		y = 0.586761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.03057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09606555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.17352294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.545138422479279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09606555} λ = -0.09606555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545138422479279))-π/2
    2×atan(0.579761525757462)-π/2
    2×0.525405329825011-π/2
    1.05081065965002-1.57079632675     		φ = -0.51998567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09606555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.504151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51998567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.792984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15883 KachelY 19227 -0.09606555 -0.51998567 -5.504151 -29.792984
    Oben rechts KachelX + 1 15884 KachelY 19227 -0.09587380 -0.51998567 -5.493164 -29.792984
    Unten links KachelX 15883 KachelY + 1 19228 -0.09606555 -0.52015206 -5.504151 -29.802518
    Unten rechts KachelX + 1 15884 KachelY + 1 19228 -0.09587380 -0.52015206 -5.493164 -29.802518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51998567--0.52015206) × R
    0.000166390000000072 × 6371000     		dl = 1060.07069000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51998567--0.52015206) × R
    0.000166390000000072 × 6371000     		dr = 1060.07069000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09606555--0.09587380) × cos(-0.51998567) × R
    0.000191750000000004 × 0.867826299880922 × 6371000     		do = 1060.17067011683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09606555--0.09587380) × cos(-0.52015206) × R
    0.000191750000000004 × 0.867743614051217 × 6371000     		du = 1060.06965786184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51998567)-sin(-0.52015206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867826299880922-0.867743614051217)×R²
    abs(-0.09587380--0.09606555)×8.26858297047206e-05×R²
    0.000191750000000004×8.26858297047206e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.26858297047206e-05×40589641000000     		ar = 1123802.31631625m²