Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15881 / 10733
↖ ↑ ↗
← S 48.647428°
E168.947754°		 ← 1 614.21 m → S 48.647428°
E168.969726°		 →
↑
1 613.97 m
↓
↑
1 613.97 m
↓
S 48.661943°
E168.947754°		 ← 1 613.74 m →
2 604 903 m²		 S 48.661943°
E168.969726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.969329833984375 y=0.655120849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.969329833984375 × 214)
    floor (0.969329833984375 × 16384)
    floor (15881.5)     		tx = 15881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655120849609375 × 214)
    floor (0.655120849609375 × 16384)
    floor (10733.5)     		ty = 10733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15881 / 10733 ti = "14/15881/10733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15881/10733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15881 ÷ 214
    15881 ÷ 16384     		x = 0.96929931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10733 ÷ 214
    10733 ÷ 16384     		y = 0.65509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96929931640625 × 2 - 1) × π
    0.9385986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.94869457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.3101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.974461295476502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94869457} λ = 2.94869457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974461295476502))-π/2
    2×atan(0.377395603531174)-π/2
    2×0.360869269490249-π/2
    0.721738538980498-1.57079632675     		φ = -0.84905779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94869457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.947754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84905779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.647428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15881 KachelY 10733 2.94869457 -0.84905779 168.947754 -48.647428
    Oben rechts KachelX + 1 15882 KachelY 10733 2.94907806 -0.84905779 168.969726 -48.647428
    Unten links KachelX 15881 KachelY + 1 10734 2.94869457 -0.84931112 168.947754 -48.661943
    Unten rechts KachelX + 1 15882 KachelY + 1 10734 2.94907806 -0.84931112 168.969726 -48.661943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84905779--0.84931112) × R
    0.000253329999999941 × 6371000     		dl = 1613.96542999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84905779--0.84931112) × R
    0.000253329999999941 × 6371000     		dr = 1613.96542999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94869457-2.94907806) × cos(-0.84905779) × R
    0.000383490000000375 × 0.660690716737581 × 6371000     		do = 1614.20933075054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94869457-2.94907806) × cos(-0.84931112) × R
    0.000383490000000375 × 0.660500531290181 × 6371000     		du = 1613.74466685261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84905779)-sin(-0.84931112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660690716737581-0.660500531290181)×R²
    abs(2.94907806-2.94869457)×0.000190185447400126×R²
    0.000383490000000375×0.000190185447400126×6371000²
    0.000383490000000375×0.000190185447400126×40589641000000     		ar = 2604903.09481193m²