Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15880 / 18776
↖ ↑ ↗
← S 25.403585°
W  5.537109°		 ← 1 103.52 m → S 25.403585°
W  5.526123°		 →
↑
1 103.46 m
↓
↑
1 103.46 m
↓
S 25.413509°
W  5.537109°		 ← 1 103.43 m →
1 217 634 m²		 S 25.413509°
W  5.526123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484634399414062 y=0.573013305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484634399414062 × 215)
    floor (0.484634399414062 × 32768)
    floor (15880.5)     		tx = 15880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573013305664062 × 215)
    floor (0.573013305664062 × 32768)
    floor (18776.5)     		ty = 18776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15880 / 18776 ti = "15/15880/18776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15880/18776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15880 ÷ 215
    15880 ÷ 32768     		x = 0.484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18776 ÷ 215
    18776 ÷ 32768     		y = 0.572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.14599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.458660255564697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09664079} λ = -0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.458660255564697))-π/2
    2×atan(0.632129971061477)-π/2
    2×0.563710063607238-π/2
    1.12742012721448-1.57079632675     		φ = -0.44337620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44337620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.403585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15880 KachelY 18776 -0.09664079 -0.44337620 -5.537109 -25.403585
    Oben rechts KachelX + 1 15881 KachelY 18776 -0.09644904 -0.44337620 -5.526123 -25.403585
    Unten links KachelX 15880 KachelY + 1 18777 -0.09664079 -0.44354940 -5.537109 -25.413509
    Unten rechts KachelX + 1 15881 KachelY + 1 18777 -0.09644904 -0.44354940 -5.526123 -25.413509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44337620--0.44354940) × R
    0.000173199999999984 × 6371000     		dl = 1103.4571999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44337620--0.44354940) × R
    0.000173199999999984 × 6371000     		dr = 1103.4571999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09664079--0.09644904) × cos(-0.44337620) × R
    0.000191750000000004 × 0.903308452626554 × 6371000     		do = 1103.51706058539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09664079--0.09644904) × cos(-0.44354940) × R
    0.000191750000000004 × 0.903234137723578 × 6371000     		du = 1103.42627458305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44337620)-sin(-0.44354940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903308452626554-0.903234137723578)×R²
    abs(-0.09644904--0.09664079)×7.4314902975936e-05×R²
    0.000191750000000004×7.4314902975936e-05×6371000²
    0.000191750000000004×7.4314902975936e-05×40589641000000     		ar = 1217633.7596355m²