Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15879 / 21808
↖ ↑ ↗
← N 75.984200°
W136.387024°		 ← 73.96 m → N 75.984200°
W136.384277°		 →
↑
73.97 m
↓
↑
73.97 m
↓
N 75.983535°
W136.387024°		 ← 73.96 m →
5 470 m²		 N 75.983535°
W136.384277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121150970458984 y=0.166385650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121150970458984 × 217)
    floor (0.121150970458984 × 131072)
    floor (15879.5)     		tx = 15879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166385650634766 × 217)
    floor (0.166385650634766 × 131072)
    floor (21808.5)     		ty = 21808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15879 / 21808 ti = "17/15879/21808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15879/21808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15879 ÷ 217
    15879 ÷ 131072     		x = 0.121147155761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21808 ÷ 217
    21808 ÷ 131072     		y = 0.1663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121147155761719 × 2 - 1) × π
    -0.757705688476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.38040262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1663818359375 × 2 - 1) × π
    0.667236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09618474658582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38040262} λ = -2.38040262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09618474658582))-π/2
    2×atan(8.13507326344692)-π/2
    2×1.44848539818765-π/2
    2.8969707963753-1.57079632675     		φ = 1.32617447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38040262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.387024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32617447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.984200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15879 KachelY 21808 -2.38040262 1.32617447 -136.387024 75.984200
    Oben rechts KachelX + 1 15880 KachelY 21808 -2.38035469 1.32617447 -136.384277 75.984200
    Unten links KachelX 15879 KachelY + 1 21809 -2.38040262 1.32616286 -136.387024 75.983535
    Unten rechts KachelX + 1 15880 KachelY + 1 21809 -2.38035469 1.32616286 -136.384277 75.983535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32617447-1.32616286) × R
    1.16100000000507e-05 × 6371000     		dl = 73.9673100003233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32617447-1.32616286) × R
    1.16100000000507e-05 × 6371000     		dr = 73.9673100003233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38040262--2.38035469) × cos(1.32617447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242189456618018 × 6371000     		do = 73.9554641175202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38040262--2.38035469) × cos(1.32616286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242200720960114 × 6371000     		du = 73.9589038198892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32617447)-sin(1.32616286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242189456618018-0.242200720960114)×R²
    abs(-2.38035469--2.38040262)×1.1264342095918e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1264342095918e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1264342095918e-05×40589641000000     		ar = 5470.41395358883m²