Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15878 / 19238
↖ ↑ ↗
← S 29.897806°
W  5.559082°		 ← 1 059 m → S 29.897806°
W  5.548096°		 →
↑
1 058.99 m
↓
↑
1 058.99 m
↓
S 29.907329°
W  5.559082°		 ← 1 058.90 m →
1 121 418 m²		 S 29.907329°
W  5.548096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484573364257812 y=0.587112426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484573364257812 × 215)
    floor (0.484573364257812 × 32768)
    floor (15878.5)     		tx = 15878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587112426757812 × 215)
    floor (0.587112426757812 × 32768)
    floor (19238.5)     		ty = 19238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15878 / 19238 ti = "15/15878/19238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15878/19238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15878 ÷ 215
    15878 ÷ 32768     		x = 0.48455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19238 ÷ 215
    19238 ÷ 32768     		y = 0.58709716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.0308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09702428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58709716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1741943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.547247646062561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09702428} λ = -0.09702428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547247646062561))-π/2
    2×atan(0.578539967796959)-π/2
    2×0.524490589895002-π/2
    1.04898117979-1.57079632675     		φ = -0.52181515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09702428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52181515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.897806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15878 KachelY 19238 -0.09702428 -0.52181515 -5.559082 -29.897806
    Oben rechts KachelX + 1 15879 KachelY 19238 -0.09683254 -0.52181515 -5.548096 -29.897806
    Unten links KachelX 15878 KachelY + 1 19239 -0.09702428 -0.52198137 -5.559082 -29.907329
    Unten rechts KachelX + 1 15879 KachelY + 1 19239 -0.09683254 -0.52198137 -5.548096 -29.907329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52181515--0.52198137) × R
    0.000166219999999995 × 6371000     		dl = 1058.98761999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52181515--0.52198137) × R
    0.000166219999999995 × 6371000     		dr = 1058.98761999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09702428--0.09683254) × cos(-0.52181515) × R
    0.00019174000000001 × 0.866915838559009 × 6371000     		do = 1059.00318362233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09702428--0.09683254) × cos(-0.52198137) × R
    0.00019174000000001 × 0.866832973469636 × 6371000     		du = 1058.90195765603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52181515)-sin(-0.52198137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866915838559009-0.866832973469636)×R²
    abs(-0.09683254--0.09702428)×8.28650893726079e-05×R²
    0.00019174000000001×8.28650893726079e-05×6371000²
    0.00019174000000001×8.28650893726079e-05×40589641000000     		ar = 1121417.66505612m²