Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15877 / 21810
↖ ↑ ↗
← N 75.982870°
W136.392517°		 ← 73.98 m → N 75.982870°
W136.389770°		 →
↑
73.97 m
↓
↑
73.97 m
↓
N 75.982204°
W136.392517°		 ← 73.98 m →
5 472 m²		 N 75.982204°
W136.389770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121135711669922 y=0.166400909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121135711669922 × 217)
    floor (0.121135711669922 × 131072)
    floor (15877.5)     		tx = 15877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166400909423828 × 217)
    floor (0.166400909423828 × 131072)
    floor (21810.5)     		ty = 21810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15877 / 21810 ti = "17/15877/21810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15877/21810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15877 ÷ 217
    15877 ÷ 131072     		x = 0.121131896972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21810 ÷ 217
    21810 ÷ 131072     		y = 0.166397094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121131896972656 × 2 - 1) × π
    -0.757736206054688 × 3.1415926535     		Λ = -2.38049850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166397094726562 × 2 - 1) × π
    0.667205810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09608887278658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38049850} λ = -2.38049850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09608887278658))-π/2
    2×atan(8.13429336045278)-π/2
    2×1.44847378783597-π/2
    2.89694757567195-1.57079632675     		φ = 1.32615125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38049850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.392517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32615125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.982870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15877 KachelY 21810 -2.38049850 1.32615125 -136.392517 75.982870
    Oben rechts KachelX + 1 15878 KachelY 21810 -2.38045056 1.32615125 -136.389770 75.982870
    Unten links KachelX 15877 KachelY + 1 21811 -2.38049850 1.32613964 -136.392517 75.982204
    Unten rechts KachelX + 1 15878 KachelY + 1 21811 -2.38045056 1.32613964 -136.389770 75.982204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32615125-1.32613964) × R
    1.16099999998287e-05 × 6371000     		dl = 73.9673099989087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32615125-1.32613964) × R
    1.16099999998287e-05 × 6371000     		dr = 73.9673099989087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38049850--2.38045056) × cos(1.32615125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242211985269563 × 6371000     		do = 73.9777748377769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38049850--2.38045056) × cos(1.32613964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242223249546364 × 6371000     		du = 73.9812152378543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32615125)-sin(1.32613964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242211985269563-0.242223249546364)×R²
    abs(-2.38045056--2.38049850)×1.12642768007043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12642768007043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12642768007043e-05×40589641000000     		ar = 5472.06424305049m²