Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1587 / 1503
↖ ↑ ↗
← S 64.091407°
E 98.964844°		 ← 8 540.35 m → S 64.091407°
E 99.140625°		 →
↑
8 528.60 m
↓
↑
8 528.60 m
↓
S 64.168107°
E 98.964844°		 ← 8 516.81 m →
72 736 893 m²		 S 64.168107°
E 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775146484375 y=0.734130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775146484375 × 211)
    floor (0.775146484375 × 2048)
    floor (1587.5)     		tx = 1587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734130859375 × 211)
    floor (0.734130859375 × 2048)
    floor (1503.5)     		ty = 1503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1587 / 1503 ti = "11/1587/1503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1587/1503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1587 ÷ 211
    1587 ÷ 2048     		x = 0.77490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1503 ÷ 211
    1503 ÷ 2048     		y = 0.73388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77490234375 × 2 - 1) × π
    0.5498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72726237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73388671875 × 2 - 1) × π
    -0.4677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46955359475244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72726237} λ = 1.72726237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46955359475244))-π/2
    2×atan(0.230028148042773)-π/2
    2×0.226095121653007-π/2
    0.452190243306014-1.57079632675     		φ = -1.11860608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72726237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11860608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.091407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1587 KachelY 1503 1.72726237 -1.11860608 98.964844 -64.091407
    Oben rechts KachelX + 1 1588 KachelY 1503 1.73033033 -1.11860608 99.140625 -64.091407
    Unten links KachelX 1587 KachelY + 1 1504 1.72726237 -1.11994474 98.964844 -64.168107
    Unten rechts KachelX + 1 1588 KachelY + 1 1504 1.73033033 -1.11994474 99.140625 -64.168107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11860608--1.11994474) × R
    0.00133866000000005 × 6371000     		dl = 8528.6028600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11860608--1.11994474) × R
    0.00133866000000005 × 6371000     		dr = 8528.6028600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72726237-1.73033033) × cos(-1.11860608) × R
    0.00306795999999987 × 0.436936690610512 × 6371000     		do = 8540.35282729193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72726237-1.73033033) × cos(-1.11994474) × R
    0.00306795999999987 × 0.435732185161907 × 6371000     		du = 8516.80959612242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11860608)-sin(-1.11994474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436936690610512-0.435732185161907)×R²
    abs(1.73033033-1.72726237)×0.0012045054486054×R²
    0.00306795999999987×0.0012045054486054×6371000²
    0.00306795999999987×0.0012045054486054×40589641000000     		ar = 72736892.9760252m²